Cel mai bun serviciu de monitorizare a actelor publicate in Monitorul Oficial
25 - 29 mai 2015 Înscrierea candidaţilor la prima sesiune de examen
29 mai 2015 Încheierea cursurilor pentru clasa a XII-a/a XIII-a
8 - 10 iunie 2015 Evaluarea competenţelor lingvistice de comunicare
orală în limba română - proba A
10 - 12 iunie 2015 Evaluarea competenţelor lingvistice de comunicare orală
în limba maternă - proba B
15 - 19 iunie 2015 Evaluarea competenţelor digitale - proba D
22 - 26 iunie 2015 Evaluarea competenţelor lingvistice într-o limbă de
circulaţie internaţională - proba C
29 iunie 2015 Limba şi literatura română - proba E)a) - probă scrisă
30 iunie 2015 Limba şi literatura maternă - proba E)b) - probă scrisă
1 iulie 2015 Proba obligatorie a profilului - proba E)c) -
probă scrisă
3 iulie 2015 Proba la alegere a profilului şi specializării -
proba E)d) - probă scrisă
6 iulie 2015 Afişarea rezultatelor (până la ora 12:00)
6 iulie 2015 Depunerea contestaţiilor (orele 12:00 - 16:00)
7 - 9 iulie 2015 Rezolvarea contestaţiilor
10 iulie 2015 Afişarea rezultatelor finale
13 - 17 iulie 2015 Înscrierea candidaţilor la a doua sesiune de examen
17 - 18 august 2015 Evaluarea competenţelor lingvistice de comunicare
orală în limba română - proba A
17 - 18 august 2015 Evaluarea competenţelor lingvistice de comunicare
orală în limba maternă - proba B
18 - 19 august 2015 Evaluarea competenţelor lingvistice într-o limbă de
circulaţie internaţională - proba C
20 - 21 august 2015 Evaluarea competenţelor digitale - proba D
24 august 2015 Limba şi literatura română - proba E)a)
- proba scrisă
25 august 2015 Limba şi literatura maternă - proba E)b)
- probă scrisă
26 august 2015 Proba obligatorie a profilului - proba E)c)
- probă scrisă
28 august 2015 Proba la alegere a profilului şi specializării
- proba E)d) - probă scrisă
31 august 2015 Afişarea rezultatelor (până la ora 12:00) şi
depunerea contestaţiilor (orele 12:00 - 16:00)
1 - 2 septembrie 2015 Rezolvarea contestaţiilor
3 septembrie 2015 Afişarea rezultatelor finale
MINISTERUL
[STEMĂ*)] EDUCAŢIEI
NAŢIONALE
Competenţe specifice Conţinuturi asociate
1.1 dovedirea înţelegerii unui - idei principale, idei secundare; ordinea logică şi
text literar sau nonliterar, pornind cronologică a ideilor/a întâmplărilor dintr-un text;
de la cerinţe date
- moduri de expunere (naraţiune, descriere, dialog,
monolog);
- subiectul operei literare;
- procedee de expresivitate artistică în textele studiate
(figuri de stil: personificarea, epitetul, comparaţia,
repetiţia, enumeraţia, antiteză, ingambament, metafora,
aliteraţia);
- sensul propriu şi sensul figurat al unor cuvinte într-un
context dat;
- trăsăturile specifice genului epic şi liric, în opere
literare studiate sau în texte la prima vedere;
- texte literare (aparţinând diverselor genuri şi specii
studiate); texte nonliterare (texte publicitare,
articolul de ziar/ de revistă, anunţul, ştirea);
- reperarea unor informaţii esenţiale dintr-un text;
- completarea unui text lacunar;
- recunoaşterea secvenţelor narative şi dialogate
dintr-un text;
- recunoaşterea de cuvinte şi expresii noi în text;
- utilizarea unui lexic diversificat recurgând la
categoriile semantice studiate.
1.2 sesizarea corectitudinii şi Comunicarea scrisă
a valorii expresive a Organizarea textului scris. Părţile componente ale unei
categoriilor morfosintactice, compuneri: introducerea, cuprinsul, încheierea.
a mijloacelor de îmbogăţire Organizarea unui text propriu (rezumat, caracterizare de
a vocabularului şi a personaj).
categoriilor semantice Ortografia şi punctuaţia. Scrierea corectă a cuvintelor.
studiate, a ortografiei şi Consoanele duble, diftongii, triftongii, apostroful,
punctuaţiei trunchierea.
Contexte de realizare:
a) Scrierea funcţională: scrisoarea, invitaţia. Analiza.
Conspectul.
Eseul structurat.
b) Scrierea imaginativă: compuneri libere după un plan
dat. Eseul liber.
Scrierea despre textul literar sau nonliterar. Povestirea
scrisă a unor fragmente din text. Comentarea unor secvenţe.
Semnificaţia titlului. Personajul literar.
Fonetică şi ortografie:
Aspecte fonetice specifice limbii italiene: eliziunea şi
apostroful, accentul cuvintelor.
Lexic:
Mijloace de îmbogăţire a lexicului: derivarea cu sufixe şi
prefixe; familii de cuvinte; expresii idiomatice; cuvinte
compuse, arhaisme, neologisme;
Sinonime, antonime, omonime, cuvinte polisemantice;
Sensul denotativ şi sensul conotativ al cuvintelor.
Gramatică
● Articolul: hotărât, nehotărât şi partitiv; folosirea
articolului cu numele proprii de persoane şi geografice;
● Substantivul: formarea femininului; formarea pluralului;
substantive defective; substantive cu două forme de plural;
substantive colective; substantive invariabile; substantive
defective de singular / plural; substantive compuse;
substantive derivate cu un sufix diminutival, peiorativ,
etc;
● Adjectivul: formarea femininului adjectivelor
calificative; poziţia adjectivului calificativ; adjectivul
demonstrativ; adjectivul posesiv şi omiterea articolului în
cazul posesivelor care însoţesc substantive indicând
înrudirea; adjectivul nehotărât; gradele de comparaţie -
forme sintetice;
● Numeralul: cardinal, ordinal (formarea); folosirea
numeralului ordinal (exprimarea secolelor); distributiv;
colectiv, multiplicativ;
● Pronumele personal în acuzativ cu şi fără prepoziţie;
pronumele în dativ cu şi fără prepoziţie; pronumele
relativ; locul pronumelor combinate cu în grupurile
verbale, propoziţia asertivă şi imperativă; pronumele de
politeţe; pronumele demonstrativ; particulele pronominale
ci, ne; pronumele posesiv; pronumele interogative;
pronumele nehotărâte;
● Verbul: indicativul prezent al verbelor regulate şi
neregulate; perfectul compus al verbelor regulate şi
neregulate; imperfectul verbelor regulate şi neregulate;
perfectul simplu al verbelor regulate şi neregulate;
viitorul simplu şi viitorul anterior; condiţionalul
prezent şi trecut; folosirea condiţionalului; modul
imperativul (tu, noi, voi); folosirea imperativului cu
pronumele de politeţe; conjunctivul prezent şi trecut;
conjunctivul imperfect şi trapassato; concordanţa
timpurilor la modul indicativ; concordanţa timpurilor la
modul conjunctiv; fraza ipotetică; verbele frazeologice
(cominciare, iniziare, finire, smettere); verbe tranzitive
şi intranzitive (alegerea auxiliarului); forma activă,
pasivă şi reflexivă; verbele modale (dovere, potere,
volere); verbele impersonale; verbe defective;
● Adverbul: formarea adverbelor din adjective cu sufixul
"-mente"; adverbele de loc şi de timp; adverbe de îndoială;
adverbe de mod; adverbe interogative; adverbe de evaluare;
locuţiuni adverbiale; particulele adverbiale ci, vi, ne;
gradele adverbului; poziţia adverbului;
● Conjuncţia: conjuncţiile coordonatoare; conjuncţia
subordonatoare; locuţiuni conjuncţionale;
● Prepoziţia: folosirea prepoziţiilor; prepoziţii
articulate; locuţiuni prepoziţionale;
● Interjecţia: interjecţii proprii (care exprimă uimirea,
bucuria, ameninţarea, îndemnul, regretul, indignarea): ah,
eh, ih, oh, ahi, beh, uffa, ahime; interjecţii improprii
bravo, coraggio, avanti, via, su, forza, guai, peccato;
locuţiuni;
● Sintaxa: Propoziţia simplă; Părţi principale de propoziţie
(Subiectul; Predicatul); Părţi secundare de propoziţie
(Atributul; Complementul direct şi indirect; Complemente
circumstanţiale: de loc, de timp, de mod, de cauză, de scop,
concesie, opoziţie);
● Sintaxa frazei: Propoziţia simplă; Propoziţia condiţională
şi fraza ipotetică; Concordanţa în indicativ şi conjunctiv.
1.3 identificarea valorilor etice - elemente etice şi culturale în texte literare şi
şi culturale într-un text, cu nonliterare şi exprimarea propriei atitudini faţă de acestea.
exprimarea impresiilor şi
preferinţelor
Competenţe specifice Conţinuturi asociate
2.1 redactarea diverselor texte, - redactarea în scris de texte funcţionale pe subiecte din
cu scopuri şi destinaţii viaţa cotidiană, mesaje, scrisori personale;
diverse, adaptându-le la - redactarea de mesaje pe o anumită temă, urmărind un plan
situaţia de comunicare dat:
concretă pagină de jurnal personal, povestire, descriere;
- realizarea de texte, ţinând seama de părţile componente
ale unei compuneri, respectând categoriile semantice şi
regulile gramaticale studiante, folosind corect semnele
ortografice şi de punctuaţie;
- redarea în scris a unor informaţii receptate prin lectură;
- cartea - obiect cultural: teoria literară, destinatarul
mesajului, structura textului narativ;
- descrierea obiectivă şi subiectivă, dialogul, personajul
(caracterizarea sumară - portret fizic şi portret moral);
- structura prozodică (rimă, ritm, vers, strofă, vers liber);
- figurile de stil: personificarea, comparaţia, enumerarea,
repetiţia, epitetul, antiteza, metafora;
- sensul de bază, sensul auxiliar; sensul figurat;
- genuri şi specii (genurile epic, liric şi dramatic);
- textul: texte literare aparţinând diverselor genuri şi
specii şi textul nonliterar;
- redactare de mesaje;
- completare de texte lacunare;
- redactare de scrisori în registru familiar;
- construirea unor scurte povestiri;
- folosirea sinonimelor în scopul evitării repetiţiilor;
- diferenţierea semnificaţiei sinonimelor în contexte
diferite;
- folosirea corectă a părţilor de vorbire flexibile şi
neflexibile;
- folosirea corectă a formelor verbale în raport cu
cronologia faptelor relatate;
- folosirea conectorilor adecvaţi;
- folosirea unor construcţii verbale specifice pentru a
spori expresivitatea comunicării;
- rezumare, substituire, transformare, alegere multiplă;
- identificarea structurii textului narativ;
- sesizarea schimbării semnificaţiei unor cuvinte în funcţie
de context;
- stabilirea relaţiilor de sinonimie, antonimie şi polisemie
într-un text dat;
- identificarea secvenţelor într-un text narativ;
- structurarea unui text în secvenţe distincte în funcţie de
tipul acestuia (rezumat, caracterizare de personaj,
scrisoare etc.).
2.2 utilizarea în redactarea unui - elemente de lexic studiate în clasele a IX-a - a XII-a;
text propriu a cunoştinţelor mijloace de îmbogăţire a lexicului;
de lexic şi de morfosintaxă, - folosirea corectă a semnelor de punctuaţie la nivelul
folosind adecvat semnele propoziţiei şi al frazei;
ortografice şi de punctuaţie - aplicarea adecvată a cunoştinţelor de morfologie în
exprimarea scrisă corectă: articolul, substantivul,
adjectivul, numeralul, pronumele, verbul, adverbul,
conjuncţia, prepoziţia, interjecţia, sintaxa propoziţiei
şi a frazei.
Notă: Se recomandă următoarele texte:
Testo poetico "Tanto gentile e tanto onesta pare" Dante Alighieri
Canto V dell'Inferno, La Divina Commedia Dante Alighieri
"Solo e pensoso" Francesco Petrarca
"Erano i capei d'oro a l'aura sparso" Francesco Petrarca
"Trionfo di Bacco e Arianna" Lorenzo de' Medici
"I mi trovai, fanciulle, un bel mattino"
da Le Rime Angelo Poliziano
"L'apparizione di Angelica", Canto I di
Orlando innamorato Matteo Maria Boiardo
"Orlando in cerca di Angelica", di Orlando Furioso Ludovico Ariosto
"Ermina fra i pastori", Canto VII di
Gerusalemme liberata Torquarto Tasso
"Alla sera" Ugo Foscolo
"Il sabato del villaggio" Giacomo Leopardi
"La pioggia nel pineto" Giovanni Pascoli
"La mia sera" Gabriele D'Annunzio
"L'amica di nonna Speranza" Guido Gozzano
"San Martino del Carso" Giuseppe Ungaretti
"A mia moglie" Umberto Saba
"Meriggiare pallido e assorto" Eugenio Montale
"Felicita raggiunta" Eugenio Montale
"Non chiederci la parola" Eugenio Montale
"Ed e subito sera" Salvatore Quasimodo
"Alle fronde dei salici" Salvatore Quasimodo
"Verra la morte e avra i tuoi occhi" Cesare Pavese
Testo narrativo "Federigo degli Alberighi" (V giornata,
(racconto) IX novella, Il Decameron) Giovanni Boccaccio
"I promessi sposi" (frammenti) Alessandro Manzoni
"La lupa" Giovanni Verga
"Il treno ha fischiato" Luigi Pirandello
"Agostino" (frammenti) Alberto Moravia
"Il colombre" da Racconti Dino Buzzati
Testo drammatico "La Locandiera"(frammento) Carlo Goldoni
Trattato "Creazione dell'uomo" (De dignitae hominis) Pico della Mirandola
MINISTERUL
[STEMĂ*)] EDUCAŢIEI
NAŢIONALE
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în │Mulţimi şi elemente de logică matematică │
│probleme de matematică, a unor noţiuni specifice │● Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu│
│logicii matematice şi teoriei mulţimilor │numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul │
│2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice │unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin │
│ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în │adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui│
│contexte variate │număr real; operaţii cu intervale de numere reale│
│3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr │● Propoziţie, predicat, cuantificatori │
│real şi utilizarea unor algoritmi pentru │● Operaţii logice elementare (negaţie, conjuncţie│
│optimizarea calculelor cu numere reale │disjuncţie, implicaţie, echivalenţă), corelate cu│
│4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora│operaţiile şi cu relaţiile dintre mulţimi │
│utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente│(complementară, intersecţie, reuniune, incluziune│
│logice │egalitate); raţionament prin reducere la absurd │
│5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând │● Inducţia matematică │
│limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al │ │
│teoriei mulţimilor │ │
│6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj │ │
│matematic, rezolvarea problemei obţinute şi │ │
│interpretarea rezultatului │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt │Şiruri │
│funcţii, şiruri, progresii │● Modalităţi de a defini un şir, şiruri │
│2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere │mărginite, şiruri monotone │
│a funcţiilor în scopul caracterizării acestora │● Şiruri particulare: progresii aritmetice, │
│3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând │progresii geometrice, formula termenului general │
│reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare │în funcţie de un termen dat şi raţie, suma │
│şi raţionamentul inductiv │primilor n termeni ai unei progresii │
│4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse │● Condiţia ca n numere să fie în progresie │
│reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi │aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3 │
│algebrice ale acestora │ │
│5. Analizarea unor valori particulare în vederea │ │
│determinării formei analitice a unei funcţii │ │
│definite pe N prin raţionament de tip inductiv │ │
│6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj │ │
│matematic utilizând funcţii definite pe N │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind │Funcţii; lecturi grafice │
│reprezentarea grafică a acesteia │● Reper cartezian, produs cartezian; │
│2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin │reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian│
│utilizarea unor modalităţi variate de descriere a │de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru │
│funcţiilor │puncte aflate în cadrane; drepte în plan de │
│3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite │forma x = m sau y = m, cu m aparţine R │
│moduri şi caracterizarea calitativă a acestor │● Funcţia: definiţie, exemple, exemple de │
│reprezentări │corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi de│
│4. Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor │a descrie o funcţie, lecturi grafice. Egalitatea │
│numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a │a două funcţii, imaginea unei mulţimi printr-o │
│ecuaţiilor asociate │funcţie, graficul unei funcţii, restricţii ale │
│5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor │unei funcţii │
│numerice prin lectură grafică │● Funcţii numerice │
│6. Analizarea unor situaţii practice şi descrierea │(F = (f : D → R, D inclus sau egal R)); │
│lor cu ajutorul funcţiilor │reprezentarea geometrică a graficului: │
│ │intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări │
│ │grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma │
│ │f (x) = g (x), (≤, <, >, ≥); proprietăţi ale │
│ │funcţiilor numerice introduse prin lectură │
│ │grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: │
│ │paritate/imparitate, simetria graficului faţă de │
│ │drepte de forma x = m, m aparţine R, │
│ │periodicitate │
│ │● Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii │
│ │numerice │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în │Funcţia de gradul I │
│moduri diferite │● Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei │
│2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice pen-│f : R → R, f (x) = ax + b, unde a,b aparţine R, │
│tru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│sistemelor │ecuaţia f (x) = 0 │
│3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din │ │
│reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau │ │
│din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi │● Interpretarea grafică a proprietăţilor │
│sistemelor de ecuaţii │algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul │
│4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I │funcţiei; studiul monotoniei prin semnul │
│şi reprezentarea ei geometrică │diferenţei f [x(1)] - f [x(2)] (sau prin │
│5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I │studierea semnului raportului │
│utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei │f [x(1)] - f [x(2)] │
│6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea│───────────────────, x(1), x(2) aparţin R, │
│ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea │ x(1) - x(2) │
│problemei obţinute şi interpretarea rezultatului │ │
│ │x(1) diferit x(2)) │
│ │● Inecuaţii de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥) │
│ │studiate pe R sau pe intervale de numere reale │
│ │● Poziţia relativă a două drepte, sisteme de │
│ │ecuaţii de │
│ │ ┌ │
│ │ │ ax + by = c │
│ │tipul< , a, b, c, m, n, p numere reale│
│ │ │ mx + ny = p │
│ │ └ │
│ │● Sisteme de inecuaţii de gradul I │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare│Funcţia de gradul al II-lea │
│de cea pătratică │● Reprezentarea grafică a funcţiei f : R → R, │
│2. Completarea unor tabele de valori pentru │f(x) = ax^2 + bx + c , cu │
│trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea │a, b, c aparţine R şi a diferit 0 │
│3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin │ecuaţia f(x) = 0 , simetria faţă de drepte de │
│puncte semnificative) │forma x = m, cu m aparţine R │
│4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin │● Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de │
│condiţii algebrice sau geometrice │forma │
│5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru │┌ │
│caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul ││ x + y = s │
│al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de │< , cu s, p aparţine R │
│ecuaţii ││ xy = p │
│6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor │└ │
│probleme şi în modelarea unor procese │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de │Interpretarea geometrică a proprietăţilor │
│date şi reprezentări grafice │algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea │
│2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite │● Monotonie; studiul monotoniei prin semnul │
│condiţii precizate │diferenţei f [x(1)] - f [x(2)] sau prin rata │
│3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea │creşterii/descreşterii: │
│ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii│f [x(1)] - f [x(2)] │
│şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor │───────────────────, x(1), x(2) aparţin R, │
│acestora │ x(1) - x(2) │
│4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor │ │
│condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii │x(1) diferit x(2), │
│algebrice a unor reprezentări grafice │punct de extrem, vârful parabolei │
│5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice │● Poziţionarea parabolei faţă de axa O(x), semnul│
│pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor │funcţiei, inecuaţii de forma │
│ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea │ax^2 + bx + c ≤ 0 (≥, <, >), a, b, c aparţine R, │
│6. Interpretarea informaţiilor conţinute în │a diferit 0, studiate pe R sau pe intervale de │
│reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, │numere reale, interpretare geometrică: │
│aproximări şi strategii de optimizare │imagini ale unor intervale [proiecţiile unor │
│ │porţiuni de parabolă pe axa O(y)] │
│ │● Poziţia relativă a unei drepte faţă de o │
│ │parabolă: rezolvarea sistemelor de forma │
│ │┌ │
│ ││ mx + n = y │
│ │< , a, b, c, m, n aparţin R │
│ ││ax^2 + bx + c = y │
│ │└ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor elemente de geometrie │Vectori în plan │
│vectorială în diferite contexte │● Segment orientat, vectori, vectori coliniari │
│2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în │● Operaţii cu vectori: adunarea (regula │
│contexte geometrice date │triunghiului, regula paralelogramului), │
│3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a │ proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea│
│descrie o problemă practică │cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un │
│4. Utilizarea limbajului calculului vectorial │scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea │
│pentru a descrie configuraţii geometrice │după doi vectori necoliniari │
│5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o │ │
│configuraţie geometrică să verifice cerinţe date │ │
│6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea │ │
│unor probleme de fizică │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Descrierea sintetică sau vectorială a │Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul │
│proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan│vectorial în geometria plană │
│2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a │● Vectorul de poziţie a unui punct │
│unei configuraţii geometrice date │● Vectorul de poziţie a punctului care împarte │
│3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a │un segment într-un raport dat, teorema lui Thales│
│problemelor de coliniaritate, concurenţă sau │(condiţii de paralelism) │
│paralelism │● Vectorul de poziţie a centrului de greutate al │
│4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea │unui triunghi (concurenţa medianelor unui │
│vectorială (şi invers) într-o configuraţie │triunghi) │
│geometrică dată │● Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva │
│5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei sau │ │
│paralelismului în relaţie cu proprietăţile │ │
│sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii │ │
│geometrice │ │
│6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială│ │
│şi sintetică ale aceleiaşi probleme │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea legăturilor între coordonate │Elemente de trigonometrie │
│unghiulare, coordonate metrice şi coordonate │● Cercul trigonometric, definirea funcţiilor │
│carteziene pe cercul trigonometric │trigonometrice: │
│2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce │sin: [0,2Pi] → [-1,1], │
│utilizând relaţii trigonometrice │ Pi │
│3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii│cos: [0,2Pi] → [-1,1], tg: [0,Pi] - (──) → R, │
│unor segmente utilizând relaţii metrice │ 2 │
│4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice │ctg: (0,Pi) → R │
│plane utilizând calculul trigonometric │● Definirea funcţiilor trigonometrice: │
│5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor │sin: R → [-1,1], cos: R → [-1,1], tg: R-D → R, │
│trigonometrice prin lecturi grafice │ Pi │ │
│6. Optimizarea calculului trigonometric prin │cu D = (── + kPi│k aparţine Z), ctg: R-D → R, │
│alegerea adecvată a formulelor │ 2 │ │
│ │ │
│ │cu D = (kPi│k aparţine Z) │
│ │ │
│ │● Reducerea la primul cadran; formule │
│ │trigonometrice: sin (a + b) , sin (a - b), │
│ │cos (a + b), cos (a - b), sin 2a, cos 2a, │
│ │sin a + sin b, sin a - sin b, cos a + cos b, │
│ │cos a - cos b (transformarea sumei în produs) │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea│Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului │
│problemelor de geometrie │scalar a doi vectori în geometria plană │
│2. Aplicarea unor metode diverse pentru │● Produsul scalar a doi vectori: definiţie, │
│determinarea unor distanţe, a unor măsuri de │proprietăţi. │
│unghiuri şi a unor arii │ Aplicaţii: teorema cosinusului, condiţii de │
│3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o │perpendicularitate, rezolvarea triunghiului │
│configuraţie geometrică pentru deducerea unor │dreptunghic │
│proprietăţi ale acesteia │● Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în │
│4. Analizarea unor configuraţii geometrice pentru │geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea │
│alegerea algoritmilor de rezolvare │triunghiurilor oarecare │
│5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea│● Calcularea razei cercului înscris şi a razei │
│calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de│cercului circumscris în triunghi, calcularea │
│arii │lungimilor unor segmente importante din triunghi,│
│6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând│calcularea unor arii │
│metode vectoriale sau sintetice │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de │Mulţimi de numere │
│numere utilizate în algebră şi a formei de scriere │● Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu │
│a unui număr real în contexte specifice │exponent raţional, iraţional şi real ale unui │
│2. Determinarea echivalenţei între forme diferite │număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru │
│de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea │numere reale │
│numerelor reale │● Radical de ordin n (n aparţine N şi n ≥ 2) │
│3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu│dintr-un număr, proprietăţi ale radicalilor │
│numere reale sau complexe pentru optimizarea unor │● Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale │
│calcule şi rezolvarea de ecuaţii │logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de │
│4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr │logaritmare │
│real sau complex în funcţie de contexte în vederea │● Mulţimea C. Numere complexe sub formă algebrică│
│optimizării calculelor │conjugatul unui număr complex, operaţii cu numere│
│5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea │complexe. Interpretarea geometrică a operaţiilor │
│optimizării calculelor │de adunare şi de scădere a numerelor complexe şi │
│6. Determinarea unor analogii între proprietăţile │a înmulţirii acestora cu un număr real │
│operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în │● Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea │
│forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea │având coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate │
│unor ecuaţii │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii │Funcţii şi ecuaţii │
│2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin │● Funcţia putere cu exponent natural: f: R → D, │
│graficul unei funcţii în scopul deducerii unor │f(x) = x^n, n aparţine N, n ≥ 2 şi │
│proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, semn│funcţia radical: f : D → R, │
│bijectivitate, inversabilitate, convexitate) │f(x) = radical indice n din x, n aparţine N │
│3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în │şi n ≥ 2, unde D = [0, +∞) pentru n par şi │
│trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii │D = R pentru n impar │
│4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii │● Funcţia exponenţială: f: R → (0, +∞), │
│concrete şi reprezentarea prin grafice a unor │f(x) = a^x , a aparţine (0, +∞), a diferit 1 şi │
│funcţii care descriu situaţii practice │funcţia logaritmică: f: (0, +∞) → R, │
│5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a │f(x) = log(a)x, a aparţine (0, +∞), │
│proprietăţilor algebrice ale funcţiilor │a diferit 1 │
│6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi │● Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; │
│inversabilitate în trasarea unor grafice şi în │funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi │
│rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice│grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o │
│ │funcţie să fie inversabilă │
│ │● Funcţii trigonometrice directe şi inverse │
│ │● Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile │
│ │funcţiilor: │
│ │1. Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau │
│ │de ordinul 3 │
│ │2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice │
│ │3. Ecuaţii trigonometrice: │
│ │sin x = a , cos x = a , a aparţine [-1,1], │
│ │tgx = a , ctgx = a , a aparţine R, │
│ │sin f(x) = sin g(x), cos f(x) = cos g(x), │
│ │tg f(x) = tg g(x), ctg f(x) = ctg g(x) │
│ │Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor │
│ │studia: intersecţia cu axele de coordonate, │
│ │ecuaţia f(x) = 0, reprezentarea grafică prin │
│ │puncte, simetrie, lectura grafică a │
│ │proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: │
│ │monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, │
│ │convexitate. │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul │Metode de numărare │
│de soluţii admise │● Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor │
│2. Identificarea tipului de formulă de numărare │f: A → B, unde A şi B sunt mulţimi finite │
│adecvată unei situaţii-problemă date │● Permutări │
│3. Utilizarea unor formule combinatoriale în │- numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin │
│raţionamente de tip inductiv │ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente │
│4. Exprimarea, în moduri variate, a │- numărul funcţiilor bijective f: A → B, unde A │
│caracteristicilor unor probleme în scopul │şi B sunt mulţimi finite │
│simplificării modului de numărare │● Aranjamente │
│5. Interpretarea unor situaţii-problemă având │- numărul submulţimilor ordonate cu câte k │
│conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a │elemente fiecare, k ≤ n, care se pot forma cu │
│elementelor de combinatorică │cele n elemente ale unei mulţimi finite │
│6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor │- numărul funcţiilor injective f: A → B, unde A │
│situaţii practice în scopul optimizării │şi B sunt mulţimi finite │
│rezultatelor │● Combinări - numărul submulţimilor cu câte k │
│ │elemente, unde 0 ≤ k ≤ n , ale unei mulţimi │
│ │finite cu n elemente. Proprietăţi: formula │
│ │combinărilor complementare, numărul tuturor │
│ │submulţimilor unei mulţimi cu n elemente │
│ │● Binomul lui Newton │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau│Matematici financiare │
│statistic în situaţii concrete │● Elemente de calcul financiar: procente, │
│2. Interpretarea primară a datelor statistice sau │dobânzi, TVA │
│probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al│● Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor │
│graficelor şi al diagramelor │statistice: date statistice, reprezentarea │
│3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului │grafică a datelor statistice │
│financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru │● Interpretarea datelor statistice prin parametri│
│analiza de caz │de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie│
│4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace │● Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii │
│statistice sau probabilistice a unor probleme │cu evenimente, probabilitatea unui eveniment │
│practice │compus din evenimente egal probabile │
│5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii │ │
│practice cu ajutorul conceptelor statistice sau │Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: │
│probabilistice │profit, preţ de cost al unui produs, amortizări │
│6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice │de investiţii, tipuri de credite, metode de │
│în scopul predicţiei comportării unui sistem prin │finanţare, buget personal, buget familial. │
│analogie cu modul de comportare în situaţii │ │
│studiate │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic│Geometrie │
│sau utilizând vectori │● Reper cartezian în plan, coordonatele unui │
│2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a│vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, │
│relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate │coordonatele produsului dintre un vector şi │
│3. Utilizarea informaţiilor oferite de o │un număr real, coordonate carteziene ale unui │
│configuraţie geometrică pentru deducerea unor │punct din plan, distanţa dintre două puncte în │
│proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor │plan │
│distanţe şi a unor arii │● Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un │
│4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a│punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei │
│caracteristicilor matematice ale unei configuraţii │determinate de două puncte distincte │
│geometrice │● Condiţii de paralelism, condiţii de │
│5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu │perpendicularitate a două drepte din plan; │
│paralelismul şi minimul distanţei │calcularea unor distanţe şi a unor arii │
│6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic,│ │
│sintetic sau vectorial │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor situaţii practice concrete, │ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE │
│care necesită asocierea unui tabel de date cu │ECUAŢII LINIARE │
│reprezentarea matriceală a unui proces specific │Permutări │
│domeniului economic sau tehnic │● Noţiunea de permutare, operaţii, proprietăţi │
│2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea │● Inversiuni, semnul unei permutări │
│matriceală a unui proces │Matrice │
│3. Aplicarea algoritmilor de calcul în situaţii │● Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de │
│practice │matrice │
│4. Rezolvarea unor ecuaţii şi sisteme utilizând │● Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, │
│algoritmi specifici │înmulţirea unei matrice cu un scalar, │
│5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau │proprietăţi │
│compatibilitate a unor sisteme şi identificarea │Determinanţi │
│unor metode adecvate de rezolvare a acestora │● Determinant de ordin n, proprietăţi │
│6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau │Sisteme de ecuaţii liniare │
│situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi │● Matrice inversabile din M(n) (C), n ≤ 4 │
│metode adecvate (de tip algebric, vectorial, │● Ecuaţii matriceale │
│analitic, sintetic) │● Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, │
│ │sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice │
│ │● Studiul compatibilităţii şi rezolvarea │
│ │sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, │
│ │proprietatea Rouche, metoda Gauss │
│ │● Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de │
│ │două puncte distincte, aria unui triunghi şi │
│ │coliniaritatea a trei puncte în plan │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Caracterizarea unor şiruri şi a unor funcţii │ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ │
│utilizând reprezentarea geometrică a unor cazuri │Limite de funcţii │
│particulare │● Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe │
│2. Interpretarea unor proprietăţi ale şirurilor şi │dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, │
│ale altor funcţii cu ajutorul reprezentărilor │dreapta încheiată, simbolurile +∞ şi -∞ │
│grafice │● Funcţii reale de variabilă reală: funcţia │
│3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului │polinomială, funcţia raţională, funcţia putere, │
│diferenţial în rezolvarea unor probleme şi │funcţia radical, funcţia logaritm, funcţia │
│modelarea unor procese │exponenţială, funcţii trigonometrice directe şi │
│4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, │inverse │
│continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor │● Limita unui şir utilizând vecinătăţi, şiruri │
│proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei │convergente │
│funcţii │● Monotonie, mărginire, limite; proprietatea lui │
│5. Studierea unor funcţii din punct de vedere │Weierstrass. Exemple semnificative: │
│cantitativ şi/sau calitativ utilizând diverse │[a^n](n), [n^a](n), │
│procedee: majorări sau minorări pe un interval │ │
│dat, proprietăţi algebrice şi de ordine ale │ 1 ^n │
│mulţimii numerelor reale în studiul calitativ local│([1 + ───] )(n), (fără demonstraţie), │
│utilizare a reprezentării grafice a unei funcţii │ n │
│pentru verificarea unor rezultate şi/sau pentru │numărul e; limita şirului │
│identificarea unor proprietăţi │┌ ┐ │
│6. Explorarea unor proprietăţi cu caracter local ││┌ ┐ 1 │ │
│şi/sau global ale unor funcţii utilizând │││ │───── │ │
│reprezentarea grafică, continuitatea sau │││ │ u(n) │ , u(n) → 0, u(n) diferit 0, │
│derivabilitatea │<│1 + u(n)│ >(n) │
│ │││ │ │ │
│Note: ││└ ┘ │ │
│- În introducerea noţiunilor de limită a unui şir │└ ┘ │
│într-un punct şi de şir convergent nu se vor │pentru orice număr natural n │
│introduce definiţiile cu E şi nici teorema de │● Operaţii cu şiruri care au limită │
│convergenţă cu E. │● Limite de funcţii: interpretarea grafică a │
│- Se utilizează exprimarea "proprietatea lui ...", │limitei unei funcţii într-un punct utilizând │
│"regula lui ...", pentru a sublinia faptul că se │vecinătăţi, limite laterale │
│face referire la un rezultat matematic utilizat în │● Calculul limitelor pentru funcţiile studiate; │
│aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara │cazuri exceptate la calculul limitelor de │
│programei. │funcţii: │
│ │0 ∞ │
│ │─, ─, ∞ - ∞, 0.∞, 1^∞, ∞^0, 0^0 │
│ │0 ∞ │
│ │● Asimptotele graficului funcţiilor studiate: │
│ │asimptote verticale, oblice │
│ │Continuitate │
│ │● Continuitatea unei funcţii într-un punct al │
│ │domeniului de definiţie, funcţii continue, │
│ │interpretarea grafică a continuităţii unei │
│ │funcţii, studiul continuităţii în puncte de pe │
│ │dreapta reală pentru funcţiile studiate, │
│ │operaţii cu funcţii continue │
│ │● Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii │
│ │continue pe un interval de numere reale, studiul │
│ │existenţei soluţiilor unor ecuaţii în R │
│ │Derivabilitate │
│ │● Tangenta la o curbă, derivata unei funcţii │
│ │într-un punct, funcţii derivabile, operaţii cu │
│ │funcţii derivabile, calculul derivatelor de ordin│
│ │I şi al II- lea pentru funcţiile studiate │
│ │● Funcţii derivabile pe un interval: puncte de │
│ │extrem ale unei funcţii, teorema lui Fermat, │
│ │teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange şi │
│ │interpretarea lor geometrică, corolarul teoremei │
│ │lui Lagrange referitor la derivata unei funcţii │
│ │într-un punct │
│ │● Rolul derivatei I în studiul funcţiilor: │
│ │monotonia funcţiilor, puncte de extrem │
│ │● Rolul derivatei a II-a în studiul funcţiilor: │
│ │concavitate, convexitate, puncte de inflexiune │
│ │● Regulile lui l'Hospital │
│ │Reprezentarea grafică a funcţiilor │
│ │● Reprezentarea grafică a funcţiilor │
│ │● Rezolvarea grafică a ecuaţiilor, utilizarea │
│ │reprezentării grafice a funcţiilor în │
│ │determinarea numărului de soluţii ale unei │
│ │ecuaţii │
│ │● Reprezentarea grafică a conicelor (cerc, │
│ │elipsă, hiperbolă, parabolă) │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea proprietăţilor operaţiilor cu care│ELEMENTE DE ALGEBRĂ │
│este înzestrată o mulţime │Grupuri │
│2. Evidenţierea asemănărilor şi a deosebirilor │● Lege de compoziţie internă (operaţie algebrică)│
│dintre proprietăţile unor operaţii definite pe │tabla operaţiei, parte stabilă │
│mulţimi diferite şi dintre calculul polinomial şi │● Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de │
│cel cu numere │matrice, grupuri de permutări, grupul aditiv al │
│3.1. Determinarea şi verificarea proprietăţilor │claselor de resturi modulo n │
│structurilor algebrice, inclusiv verificarea │● Subgrup │
│faptului că o funcţie dată este morfism sau │● Grup finit, tabla operaţiei, ordinul unui │
│izomorfism │element │
│3.2. Folosirea descompunerii în factori a │● Morfism, izomorfism de grupuri │
│polinomelor, în probleme de divizibilitate şi în │Inele şi corpuri │
│rezolvări de ecuaţii │● Inel, exemple: inele numerice (Z, Q, R, C), │
│4. Utilizarea unor proprietăţi ale operaţiilor în │Z(n), inele de matrice, inele de funcţii reale │
│calcule specifice unei structuri algebrice │● Corp, exemple: corpuri numerice (Q, R, C), │
│5.1. Utilizarea unor proprietăţi ale structurilor │Z(p), p prim │
│algebrice în rezolvarea unor probleme de aritmetică│● Morfisme de inele şi de corpuri │
│5.2. Determinarea unor polinoame, funcţii │Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp │
│polinomiale sau ecuaţii algebrice care verifică │comutativ (Q, R, C, Z(p), p prim) │
│condiţii date │● Forma algebrică a unui polinom, funcţia │
│6.1. Transferarea, între structuri izomorfe, a │polinomială, operaţii (adunarea, înmulţirea, │
│datelor iniţiale şi a rezultatelor, pe baza │înmulţirea cu un scalar) │
│proprietăţilor operaţiilor │● Teorema împărţirii cu rest; împărţirea │
│6.2. Modelarea unor situaţii practice, utilizând │polinoamelor, împărţirea cu X - a, schema lui │
│noţiunea de polinom sau de ecuaţie algebrică │Horner │
│ │● Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui │
│ │Bezout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor │
│ │polinoame, descompunerea unor polinoame în │
│ │factori ireductibili │
│ │● Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viete │
│ │● Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având │
│ │coeficienţi în Z, Q, R, C, ecuaţii binome, │
│ │ecuaţii bipătrate, ecuaţii reciproce │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie │ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ │
│continuă şi derivata sau primitiva acesteia │● Probleme care conduc la noţiunea de integrală │
│2. Identificarea unor metode de calcul ale │Primitive (antiderivate) │
│integralelor, prin realizarea de legături cu reguli│● Primitivele unei funcţii definite pe un │
│de derivare │interval. Integrala nedefinită a unei funcţii, │
│3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor │proprietăţi ale integralei nedefinite, │
│integrale definite │liniaritate. Primitive uzuale │
│4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor │Integrala definită │
│definite, în scopul optimizării soluţiilor │● Diviziuni ale unui interval [a, b], norma unei │
│5. Folosirea proprietăţilor unei funcţii continue, │diviziuni, sistem de puncte intermediare, │
│pentru calcularea integralei acesteia pe un │sume Riemann, interpretare geometrică. │
│interval │Definiţia integrabilităţii unei funcţii pe un │
│6.1.Utilizarea proprietăţilor de monotonie a │interval [a, b] │
│integralei în estimarea valorii unei integrale │● Proprietăţi ale integralei definite: │
│definite şi în probleme cu conţinut practic │liniaritate, monotonie, aditivitate în raport │
│6.2. Modelarea comportării unei funcţii prin │cu intervalul de integrare. │
│utilizarea primitivelor sale │● Formula Leibniz - Newton │
│ │● Integrabilitatea funcţiilor continue, teorema │
│ │de medie, interpretare geometrică, teorema de │
│ │existenţă a primitivelor unei funcţii continue │
│ │● Metode de calcul al integralelor definite: │
│ │integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare │
│ │de variabilă. Calculul integralelor de forma │
│ │ P(x) │
│ │integrală de la a la b din ──── dx, grad Q ≤ 4 │
│ │ Q(x) │
│ │prin metoda descompunerii în fracţii simple │
│ │Aplicaţii ale integralei definite │
│ │● Aria unei suprafeţe plane │
│ │● Volumul unui corp de rotaţie │
│ │● Calculul unor limite de şiruri folosind │
│ │integrala definită │
│ │Notă: Se utilizează exprimarea "proprietate" sau │
│ │"regulă", pentru a sublinia faptul că se face │
│ │referire la un rezultat matematic utilizat în │
│ │aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în │
│ │afara programei. │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea, în limbaj cotidian sau în │Mulţimi şi elemente de logică matematică │
│probleme de matematică, a unor noţiuni specifice │● Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu│
│logicii matematice şi teoriei mulţimilor │numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul │
│2. Utilizarea proprietăţilor operaţiilor algebrice │unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin │
│ale numerelor, a estimărilor şi aproximărilor în │adaos, partea întreagă, partea fracţionară a unui│
│contexte variate │număr real; operaţii cu intervale de numere reale│
│3. Alegerea formei de reprezentare a unui număr │● Propoziţie, predicat, cuantificatori │
│real şi utilizarea unor algoritmi pentru │● Operaţii logice elementare (negaţie, │
│optimizarea calculelor cu numere reale │conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),│
│4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora│corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre │
│utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente│mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, │
│logice │incluziune, egalitate); raţionament prin │
│5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând │reducere la absurd │
│limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al │● Inducţia matematică │
│teoriei mulţimilor │ │
│6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj │ │
│matematic, rezolvarea problemei obţinute şi │ │
│interpretarea rezultatului │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt │Şiruri │
│funcţii, şiruri, progresii │● Modalităţi de a defini un şir, şiruri │
│2. Utilizarea unor modalităţi variate de descriere │mărginite, şiruri monotone │
│a funcţiilor în scopul caracterizării acestora │● Şiruri particulare: progresii aritmetice, │
│3. Descrierea unor şiruri/funcţii utilizând │progresii geometrice, formula termenului general │
│reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare │în funcţie de un termen dat şi raţie, suma │
│şi raţionamentul inductiv │primilor n termeni ai unei progresii │
│4. Caracterizarea unor şiruri folosind diverse │● Condiţia ca n numere să fie în progresie │
│reprezentări (formule, grafice) sau proprietăţi │aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3 │
│algebrice ale acestora │ │
│5. Analizarea unor valori particulare în vederea │ │
│determinării formei analitice a unei funcţii │ │
│definite pe N prin raţionament de tip inductiv │ │
│6. Transpunerea unor situaţii-problemă în limbaj │ │
│matematic utilizând funcţii definite pe N │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind │Funcţii; lecturi grafice │
│reprezentarea grafică a acesteia │● Reper cartezian, produs cartezian; │
│2. Caracterizarea egalităţii a două funcţii prin │reprezentarea prin puncte a unui produs │
│utilizarea unor modalităţi variate de descriere a │cartezian de mulţimi numerice; condiţii algebrice│
│funcţiilor │pentru puncte aflate în cadrane; drepte în plan │
│3. Operarea cu funcţii reprezentate în diferite │de forma (x = m) sau (y = m), cu (m aparţine R) │
│moduri şi caracterizarea calitativă a acestor │● Funcţia: definiţie, exemple, exemple de │
│reprezentări │corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi │
│4. Caracterizarea unor proprietăţi ale funcţiilor │de a descrie o funcţie, lecturi grafice. │
│numerice prin utilizarea graficelor acestora şi a │Egalitatea a două funcţii, imaginea unei mulţimi │
│ecuaţiilor asociate │printr-o funcţie, graficul unei funcţii, │
│5. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor │restricţii ale unei funcţii │
│numerice prin lectură grafică │● Funcţii numerice │
│6. Analizarea unor situaţii practice şi descrierea │(F = (f: D → R, D inclus sau egal R)); │
│lor cu ajutorul funcţiilor │reprezentarea geometrică a graficului: │
│ │intersecţia cu axele de coordonate, rezolvări │
│ │grafice ale unor ecuaţii şi inecuaţii de forma │
│ │f(x) = g(x), (≤, <, >, ≥); proprietăţi ale │
│ │funcţiilor numerice introduse prin lectură │
│ │grafică: mărginire, monotonie; alte proprietăţi: │
│ │paritate/imparitate, simetria graficului faţă de │
│ │drepte de forma x = m, m aparţine R, │
│ │periodicitate │
│ │● Compunerea funcţiilor; exemple pe funcţii │
│ │numerice │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în │Funcţia de gradul I │
│moduri diferite │● Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei │
│2. Utilizarea unor metode algebrice şi grafice │f: R → R, f(x) = ax + b, unde a, b aparţin R, │
│pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│sistemelor de ecuaţii │ecuaţia f(x) = 0 │
│3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din │● Interpretarea grafică a proprietăţilor │
│reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau │algebrice ale funcţiei: monotonia şi semnul │
│din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi │funcţiei; studiul monotoniei prin semnul │
│sistemelor de ecuaţii │diferenţei f [x(1)] - f [x(2)] [sau prin │
│4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I │studierea semnului raportului │
│şi reprezentarea ei geometrică │f[x(1)] - f[x(2)] │
│5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I │─────────────────, x(1), x(2) aparţin R, │
│utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei │ x(1) - X(2) │
│6. Modelarea unor situaţii concrete prin utilizarea│x(1) diferit x(2)] │
│ecuaţiilor şi/sau a inecuaţiilor, rezolvarea │● Inecuaţii de forma ax + b ≤ O (<, >, ≥) │
│problemei obţinute şi interpretarea rezultatului │studiate pe R sau pe intervale de numere reale │
│ │● Poziţia relativă a două drepte, sisteme de │
│ │ecuaţii de tipul │
│ │┌ │
│ ││ax + by = c │
│ │< , a, b, c, m, n, p aparţin R │
│ ││mx + ny = p │
│ │└ │
│ │● Sisteme de inecuaţii de gradul I │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare│Funcţia de gradul al II-lea │
│de cea pătratică │● Reprezentarea grafică a funcţiei f: R → R, │
│2. Completarea unor tabele de valori pentru │f(x) = ax^2 + bx + c, cu a, b, c aparţin R │
│trasarea graficului funcţiei de gradul al II-lea │şi a diferit 0, intersecţia graficului cu axele │
│3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea │de coordonate, ecuaţia f(x) = 0, simetria faţă │
│graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin │de drepte de forma x = m , cu m aparţine R │
│puncte semnificative) │● Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de │
│4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin │forma │
│condiţii algebrice sau geometrice │┌ │
│5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru ││x + y = s │
│caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul al │< , cu s, p aparţin R │
│II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de ││xy = p │
│ecuaţii │└ │
│6. Utilizarea funcţiilor în rezolvarea unor │ │
│probleme şi în modelarea unor procese │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de │Interpretarea geometrică a proprietăţilor │
│date şi reprezentări grafice │algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea │
│2. Determinarea unor funcţii care verifică anumite │● Monotonie; studiul monotoniei prin semnul │
│condiţii precizate │diferenţei f [x(1)] - f [x(2)] sau prin rata │
│3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea │creşterii/descreşterii: │
│ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii│f [x(1)] - f [x(2)] │
│şi pentru reprezentarea grafică a soluţiilor │───────────────────, x(1), x(2) aparţin R, │
│acestora │ x(1) - x(2) │
│4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor │x(1) diferit x(2), punct de extrem, vârful │
│condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii │parabolei │
│algebrice a unor reprezentări grafice │● Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul │
│5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice │funcţiei, inecuaţii de forma ax^2 + bx + c ≤ 0, │
│pentru determinarea sau aproximarea soluţiilor │(≥, <, >), a, b, c aparţin R, a diferit 0, │
│ecuaţiei asociate funcţiei de gradul al II-lea │studiate pe R sau pe intervale de numere reale, │
│6. Interpretarea informaţiilor conţinute în │interpretare geometrică: imagini ale unor │
│reprezentări grafice prin utilizarea de estimări, │intervale (proiecţiile unor porţiuni de parabolă │
│aproximări şi strategii de optimizare │pe axa Oy) │
│ │● Poziţia relativă a unei drepte faţă de o │
│ │parabolă: rezolvarea sistemelor de forma │
│ │┌ │
│ ││ mx + n = y │
│ │< , a, b, c, m, n aparţin R │
│ ││ax^2 + bx + c = y │
│ │└ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor elemente de geometrie │Vectori în plan │
│vectorială în diferite contexte │● Segment orientat, vectori, vectori coliniari │
│2. Transpunerea unor operaţii cu vectori în │● Operaţii cu vectori: adunarea (regula │
│contexte geometrice date │triunghiului, regula paralelogramului), │
│3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a │proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea │
│descrie o problemă practică │cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii │
│4. Utilizarea limbajului calculului vectorial │cu un scalar; condiţia de coliniaritate, │
│pentru a descrie configuraţii geometrice │descompunerea după doi vectori necoliniari │
│5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o │ │
│configuraţie geometrică să verifice cerinţe date │ │
│6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea │ │
│unor probleme de fizică │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Descrierea sintetică sau vectorială a │Coliniaritate, concurenţă, paralelism - calcul │
│proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan│vectorial în geometria plană │
│2. Caracterizarea sintetică sau/şi vectorială a │● Vectorul de poziţie a unui punct │
│unei configuraţii geometrice date │● Vectorul de poziţie a punctului care împarte un│
│3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a │segment într-un raport dat, teorema lui Thales │
│problemelor de coliniaritate, concurenţă sau │(condiţii de paralelism) │
│paralelism │● Vectorul de poziţie a centrului de greutate al │
│4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea │unui triunghi (concurenţa medianelor unui │
│vectorială (şi invers) într-o configuraţie │triunghi) │
│geometrică dată │● Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva │
│5. Interpretarea coliniarităţii, concurenţei şi │ │
│paralelismului în relaţiile cu proprietăţile │ │
│sintetice sau vectoriale ale unor configuraţii │ │
│geometrice │ │
│6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială│ │
│şi sintetică ale aceleiaşi probleme │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea legăturilor între coordonate │Elemente de trigonometrie │
│unghiulare, coordonate metrice şi coordonate │● Cercul trigonometric, definirea funcţiilor │
│carteziene pe cercul trigonometric │trigonometrice: sin: [0,2Pi] → [-1,1], │
│2. Calcularea unor măsuri de unghiuri şi arce │cos : [0,2Pi] → [-1,1], │
│utilizând relaţii trigonometrice │ ┌ ┐ │
│3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii│ │ Pi │ │
│unor segmente utilizând relaţii metrice │tg : [0,Pi]-< ─── > → R, │
│4. Caracterizarea unor configuraţii geometrice │ │ 2 │ │
│plane utilizând calculul trigonometric │ └ ┘ │
│5. Determinarea unor proprietăţi ale funcţiilor │ctg : (0,Pi) → R │
│trigonometrice prin lecturi grafice │● Definirea funcţiilor trigonometrice: │
│6. Optimizarea calculului trigonometric prin │sin : R → [-1,1], cos: R → [-1,1], tg: R-D → R, │
│alegerea adecvată a formulelor │ ┌ ┐ │
│ │ │ Pi │ │ │
│ │cu D = < ─── + kPi│k aparţine Z >, │
│ │ │ 2 │ │ │
│ │ └ ┘ │
│ │ctg: R-D → R, cu D = (kPi│k aparţine Z) │
│ │● Reducerea la primul cadran; formule │
│ │trigonometrice: sin (a + b), sin (a - b), │
│ │cos (a + b), cos (a - b), sin 2a, cos 2a, │
│ │sin a + sin b, sin a - sin b, cos a + cos b, │
│ │cos a - cos b (transformarea sumei în produs) │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor metode posibile în rezolvarea│Aplicaţii ale trigonometriei şi ale produsului │
│problemelor de geometrie │scalar a doi vectori în geometria plană │
│2. Aplicarea unor metode diverse pentru │● Produsul scalar a doi vectori: definiţie, │
│determinarea unor distanţe, a unor măsuri de │proprietăţi. Aplicaţii: teorema cosinusului, │
│unghiuri şi a unor arii │condiţii de perpendicularitate, rezolvarea │
│3. Prelucrarea informaţiilor oferite de o │triunghiului dreptunghic │
│configuraţie geometrică pentru deducerea unor │● Aplicaţii vectoriale şi trigonometrice în │
│proprietăţi ale acesteia │geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea │
│4. Analizarea unor configuraţii geometrice pentru │triunghiurilor oarecare │
│alegerea algoritmilor de rezolvare │● Calcularea razei cercului înscris şi a razei │
│5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea│cercului circumscris în triunghi, calcularea │
│calculelor de distanţe, de măsuri de unghiuri şi de│lungimilor unor segmente importante din triunghi,│
│arii │calcularea unor arii │
│6. Modelarea unor configuraţii geometrice utilizând│ │
│metode vectoriale sau sintetice │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de │Mulţimi de numere │
│numere utilizate în algebră şi a formei de scriere │● Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu │
│a unui număr real în contexte specifice │exponent raţional, iraţional şi real ale unui │
│2. Determinarea echivalenţei între forme diferite │număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru │
│de scriere a unui număr, compararea şi ordonarea │numere reale │
│numerelor reale │● Radical de ordin n (n aparţine N şi n ≥ 2) │
│3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu│dintr-un număr, proprietăţi ale radicalilor │
│numere reale sau complexe pentru optimizarea unor │● Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale │
│calcule şi în rezolvarea de ecuaţii │logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de │
│4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr │logaritmare │
│real sau complex în funcţie de contexte în vederea │● Mulţimea C. Numere complexe sub formă │
│optimizării calculelor │algebrică, conjugatul unui număr complex, │
│5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea │operaţii cu numere complexe. Interpretarea │
│optimizării calculelor │geometrică a operaţiilor de adunare şi de │
│6. Determinarea unor analogii între proprietăţile │scădere a numerelor complexe şi a înmulţirii │
│operaţiilor cu numere reale sau complexe scrise în │acestora cu un număr real │
│forme variate şi utilizarea acestora în rezolvarea │● Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea │
│unor ecuaţii │având coeficienţi reali. Ecuaţii bipătrate │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii │Funcţii şi ecuaţii │
│2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin │● Funcţia putere cu exponent natural: f : R → D, │
│graficul unei funcţii în scopul deducerii unor │f(x) = x^n, n aparţine N şi n ≥ 2 şi funcţia │
│proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, │radical: f : D → R, │
│semn, bijectivitate, inversabilitate, convexitate) │f(x) = radical indice n din x, n aparţine N şi │
│3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în │n ≥ 2, unde D = R pentru n impar │
│trasarea graficelor şi rezolvarea de ecuaţii │● Funcţia exponenţială: f : R → (0, +∞), │
│4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii │f (x) = a^x, a aparţine (0, +∞), a diferit 1 şi │
│concrete şi reprezentarea prin grafice a unor │funcţia logaritmică: f : (0, +∞) → R, │
│funcţii care descriu situaţii practice │f (x) = log(a)x, a aparţine (0, +∞), a diferit 1 │
│5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a │● Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; │
│proprietăţilor algebrice ale funcţiilor │funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi │
│6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi │grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o │
│inversabilitate în trasarea unor grafice şi în │funcţie să fie inversabilă │
│rezolvarea unor ecuaţii algebrice şi trigonometrice│● Funcţii trigonometrice directe şi inverse │
│ │● Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile │
│ │funcţiilor: │
│ │1. Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau │
│ │de ordinul 3 │
│ │2. Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice │
│ │3. Ecuaţii trigonometrice: │
│ │sin x = a, cos x = a, a aparţine [-1,1] , │
│ │tgx = a , ctgx = a, a aparţine R, │
│ │sin f(x) = sin g(x), cos f(x) = cos g(x), │
│ │tg f(x) = tg g(x), ctg f(x) = ctg g(x) │
│ │Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor │
│ │studia: intersecţia cu axele de coordonate, │
│ │ecuaţia f (x) = 0, reprezentarea grafică prin │
│ │puncte, simetrie, lectura grafică a │
│ │proprietăţilor algebrice ale funcţiilor: │
│ │monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn, │
│ │convexitate │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul │Metode de numărare │
│de soluţii admise │● Mulţimi finite ordonate. Numărul funcţiilor │
│2. Identificarea tipului de formulă de numărare │f: A → B, unde A şi B sunt mulţimi finite │
│adecvată unei situaţii-problemă date │● Permutări │
│3. Utilizarea unor formule combinatoriale în │- numărul de mulţimi ordonate care se obţin prin │
│raţionamente de tip inductiv │ordonarea unei mulţimi finite cu n elemente │
│4. Exprimarea, în moduri diferite, a │- numărul funcţiilor bijective f : A → B, unde A │
│caracteristicilor unor probleme în scopul │şi B sunt mulţimi finite │
│simplificării modului de numărare │● Aranjamente │
│5. Interpretarea unor situaţii-problemă având │- numărul submulţimilor ordonate cu câte k │
│conţinut practic cu ajutorul funcţiilor şi a │elemente fiecare, k ≤ n, care se pot forma cu │
│elementelor de combinatorică │cele n elemente ale unei mulţimi finite │
│6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor │- numărul funcţiilor injective f : A → B, unde A │
│situaţii practice în scopul optimizării │şi B sunt mulţimi finite │
│rezultatelor │● Combinări - numărul submulţimilor cu câte k │
│ │elemente, unde 0 ≤ k ≤ n, ale unei mulţimi finite│
│ │cu n elemente. Proprietăţi: formula combinărilor │
│ │complementare, numărul tuturor submulţimilor unei│
│ │mulţimi cu n elemente │
│ │● Binomul lui Newton │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau│Matematici financiare │
│statistic în situaţii concrete │● Elemente de calcul financiar: procente, │
│2. Interpretarea primară a datelor statistice sau │dobânzi, TVA │
│probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al│● Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor │
│graficelor şi al diagramelor │statistice: date statistice, reprezentarea │
│3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului │grafică a datelor statistice │
│financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru │● Interpretarea datelor statistice prin parametri│
│analiza de caz │de poziţie: medii, dispersia, abateri de la medie│
│4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace │● Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii │
│statistice sau probabilistice a unor probleme │cu evenimente, probabilitatea unui eveniment │
│practice │compus din evenimente egal probabile │
│5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii │ │
│practice cu ajutorul conceptelor statistice sau │Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: │
│probabilistice │profit, preţ de cost al unui produs, amortizări │
│6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice │de investiţii, tipuri de credite, metode de │
│în scopul predicţiei comportării unui sistem prin │finanţare, buget personal, buget familial. │
│analogie cu modul de comportare în situaţii │ │
│studiate │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic│Geometrie │
│sau utilizând vectori │● Reper cartezian în plan, coordonatele unui │
│2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a│vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, │
│relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate │coordonatele produsului dintre un vector şi un │
│3. Utilizarea informaţiilor oferite de o │număr real, coordonate carteziene ale unui punct │
│configuraţie geometrică pentru deducerea unor │din plan, distanţa dintre două puncte în plan │
│proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor │● Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un │
│distanţe şi a unor arii │punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei │
│4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială │determinate de două puncte distincte │
│a caracteristicilor matematice ale unei │● Condiţii de paralelism, condiţii de │
│configuraţii geometrice │perpendicularitate a două drepte din plan; │
│5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu │calcularea unor distanţe şi a unor arii │
│paralelismul şi minimul distanţei │ │
│6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic,│ │
│sintetic sau vectorial │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor situaţii practice concrete, │ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE │
│care necesită asocierea unui tabel de date cu │ECUAŢII LINIARE │
│reprezentarea matriceală a unui proces specific │Matrice │
│domeniului economic sau tehnic │● Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de │
│2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea │matrice │
│matriceală a unui proces │● Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, │
│3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în │înmulţirea unei matrice cu un scalar, │
│situaţii practice │proprietăţi │
│4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi │Determinanţi │
│specifici │● Determinantul unei matrice pătratice de ordin │
│5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau │cel mult 3, proprietăţi │
│compatibilitate a unor sisteme şi identificarea │Sisteme de ecuaţii liniare │
│unor metode adecvate de rezolvare a acestora │ ─── │
│6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau │● Matrice inversabile din M(n) (C), n = 2,3 │
│situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi │● Ecuaţii matriceale │
│metode adecvate (de tip algebric, vectorial, │● Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; │
│analitic, sintetic) │forma matriceală a unui sistem liniar │
│ │● Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare│
│ │● Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de │
│ │două puncte distincte, aria unui triunghi şi │
│ │coliniaritatea a trei puncte în plan │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Caracterizarea unor funcţii utilizând │Elemente de analiză matematică │
│reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare │Limite de funcţii │
│2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu│● Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe │
│ajutorul reprezentărilor grafice │dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, │
│3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului │dreapta încheiată, simbolurile +∞ şi -∞ │
│diferenţial în rezolvarea unor probleme │● Limite de funcţii: interpretarea grafică a │
│4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, │limitei unei funcţii într-un punct utilizând │
│continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor │vecinătăţi, limite laterale │
│proprietăţi cantitative şi/sau calitative ale unei │● Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, │
│funcţii │funcţia de gradul al II-lea, funcţia logaritmică,│
│5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii │exponenţială, funcţia putere │
│pentru verificarea unor rezultate şi pentru │ ─── ─── │
│identificarea unor proprietăţi │(n = 2,3), funcţia radical (n = 2,3), funcţia │
│6. Determinarea unor optimuri situaţionale prin │raport de două funcţii cu grad cel mult 2; │
│aplicarea calculului diferenţial în probleme │cazuri exceptate la calculul limitelor de funcţii│
│practice │0 ∞ │
│ │─, ─, 0.∞ │
│ │0 ∞ │
│ │● Asimptotele graficului funcţiilor studiate: │
│ │asimptote verticale, orizontale şi oblice │
│ │Funcţii continue │
│ │● Continuitatea unei funcţii într-un punct al │
│ │domeniului de definiţie, funcţii continue, │
│ │interpretarea grafică a continuităţii unei │
│ │funcţii, operaţii cu funcţii continue │
│ │● Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii │
│ │continue pe un interval de numere reale │
│ │Funcţii derivabile │
│ │● Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii │
│ │într-un punct, funcţii derivabile │
│ │● Operaţii cu funcţii derivabile, calculul │
│ │derivatelor de ordin I şi al II-lea pentru │
│ │funcţiile studiate │
│ │● Regulile lui l'Hospital pentru cazurile │
│ │0 ∞ │
│ │─, ─ │
│ │0 ∞ │
│ │Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor │
│ │● Rolul derivatelor de ordin I şi de ordinul al │
│ │II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, puncte │
│ │de extrem, concavitate, convexitate │
│ │● Reprezentarea grafică a funcţiilor │
│ │Notă: │
│ │- Se utilizează exprimarea "proprietatea lui ...,│
│ │"regula lui ..., pentru a sublinia faptul că se │
│ │face referire la un rezultat matematic utilizat │
│ │în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în │
│ │afara programei. │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a │ELEMENTE DE ALGEBRĂ │
│mulţimilor de numere, de polinoame şi de matrice │Grupuri │
│2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin │● Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei │
│verificarea proprietăţilor acesteia │● Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de │
│2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor │matrice, grupul aditiv al claselor de resturi │
│unei structuri │modulo n │
│3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este │● Morfism şi izomorfism de grupuri │
│morfism sau izomorfism │Inele şi corpuri │
│3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul │● Inel, exemple: inele numerice (Z, Q, R, C), │
│polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice │Z(n), inele de matrice, inele de funcţii reale │
│4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în │● Corp, exemple: corpuri numerice (Q, R, C), │
│calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei │Z(p), p prim │
│structuri algebrice │Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp │
│5.1. Utilizarea structurilor algebrice în │comutativ (Q, R, C, Z(p), p prim) │
│rezolvarea de probleme practice │● Forma algebrică a unui polinom, operaţii │
│5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii │(adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar) │
│algebrice care îndeplinesc condiţii date │● Teorema împărţirii cu rest; împărţirea │
│6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind │polinoamelor, împărţirea cu X - a, schema lui │
│structuri algebrice sau calcul polinomial │Horner │
│6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu │● Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui │
│polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica │Bezout; c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. al unor │
│numerelor │polinoame, descompunerea unor polinoame în │
│ │factori ireductibili │
│ │● Rădăcini ale polinoamelor, relaţiile lui Viete │
│ │pentru polinoame de grad cel mult 4 │
│ │● Rezolvarea ecuaţiilor algebrice având │
│ │coeficienţi în Z, Q, R, C, ecuaţii binome, │
│ │ecuaţii bipătrate, ecuaţii reciproce │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie │ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ │
│continuă şi derivata sau primitiva acesteia │● Probleme care conduc la noţiunea de integrală │
│2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului │Primitive (antiderivate) │
│integral, prin analogie cu proprietăţi ale │● Primitivele unei funcţii definite pe un │
│calculului diferenţial │interval. Integrala nedefinită a unei funcţii │
│3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor │continue, proprietatea de liniaritate a │
│integrale definite │integralei nedefinite. Primitive uzuale │
│4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor │Integrala definită │
│definite, în scopul optimizării soluţiilor │● Definirea integralei Riemann a unei funcţii │
│5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a │continue prin formula Leibniz-Newton │
│volumului unui corp, folosind calculul integral şi │● Proprietăţi ale integralei definite: │
│compararea rezultatelor cu cele obţinute prin │liniaritate, monotonie, aditivitate în raport cu │
│aplicarea unor formule cunoscute din geometrie │intervalul de integrare │
│6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în│● Metode de calcul al integralelor definite: │
│probleme practice │integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare │
│ │de variabilă. Calculul integralelor de forma │
│ │ P(x) │
│ │integrală de la a la b ────dx, grad Q≤4 │
│ │ Q(x) │
│ │prin metoda descompunerii în fracţii simple │
│ │Aplicaţii ale integralei definite │
│ │● Aria unei suprafeţe plane │
│ │● Volumului unui corp de rotaţie │
│ │Notă: Se utilizează exprimarea "proprietate" sau │
│ │"regulă" pentru a sublinia faptul că se face │
│ │referire la un rezultat matematic utilizat în │
│ │aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în │
│ │afara programei. │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme│Mulţimi şi elemente de logică matematică │
│de matematică a unor noţiuni specifice logicii │● Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice │
│matematice şi teoriei mulţimilor │cu numere reale, ordonarea numerelor reale, │
│2. Reprezentarea adecvată a mulţimilor şi a │modulul unui număr real, aproximări prin lipsă │
│operaţiilor logice în scopul identificării unor │sau prin adaos; operaţii cu intervale de numere │
│proprietăţi ale acestora │reale │
│3. Alegerea şi utilizarea de algoritmi pentru │● Propoziţie, predicat, cuantificatori │
│efectuarea unor operaţii cu numere reale, cu │● Operaţii logice elementare (negaţie, │
│mulţimi, cu propoziţii/predicate │conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă) │
│4. Deducerea unor rezultate şi verificarea acestora│corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre │
│utilizând inducţia matematică sau alte raţionamente│mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, │
│logice │incluziune, egalitate) │
│5. Redactarea rezolvării unei probleme, corelând │● Inducţia matematică │
│limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi al │ │
│teoriei mulţimilor │ │
│6. Transpunerea unei situaţii-problemă în limbaj │ │
│matematic, rezolvarea problemei obţinute şi │ │
│interpretarea rezultatului │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt │Şiruri │
│şiruri, progresii aritmetice sau geometrice │● Modalităţi de a descrie un şir; şiruri │
│2. Calcularea valorilor unor şiruri care modelează │particulare: progresii aritmetice, progresii │
│situaţii practice în scopul caracterizării acestora│geometrice, determinarea termenului general al │
│3. Alegerea şi utilizarea unor modalităţi adecvate │unei progresii; suma primilor n termeni ai unei │
│de calculare a elementelor unui şir │progresii │
│4. Interpretarea grafică a unor relaţii provenite │● Condiţia ca n numere să fie în progresie │
│din probleme practice │aritmetică sau geometrică, pentru n ≥ 3 │
│5. Analizarea datelor în vederea aplicării unor │ │
│formule de recurenţă sau a raţionamentului de tip │ │
│inductiv în rezolvarea problemelor │ │
│6. Analizarea şi adaptarea scrierii termenilor unui│ │
│şir în funcţie de context │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind │Funcţii; lecturi grafice │
│reprezentarea grafică a acesteia │● Reper cartezian, produs cartezian, │
│2. Determinarea soluţiilor unor ecuaţii, inecuaţii │reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian│
│utilizând reprezentările grafice │de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru │
│3. Alegerea şi utilizarea unei modalităţi adecvate │puncte aflate în cadrane; drepte în plan de │
│de reprezentare grafică în vederea evidenţierii │forma x = m sau de forma y = m , m aparţine R │
│unor proprietăţi ale funcţiilor │● Funcţia: definiţie, exemple, exemple de │
│4. Exprimarea monotoniei unei funcţii prin condiţii│corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi │
│algebrice sau geometrice │de a descrie o funcţie, egalitatea a două │
│5. Reprezentarea geometrică a graficului unei │funcţii, imaginea unei funcţii │
│funcţii prin puncte şi aproximarea acestuia │● Funcţii numerice f : I → R, I interval de │
│printr-o curbă continuă │numere reale; graficul unei funcţii, │
│6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor │reprezentarea geometrică a graficului, │
│numerice prin lectură grafică │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│ │interpretarea grafică a unor ecuaţii de forma │
│ │f(x) = g(x); proprietăţi ale funcţiilor │
│ │numerice introduse prin lectură grafică: │
│ │mărginire, monotonie, paritate/imparitate │
│ │(simetria graficului faţă de axa Oy sau │
│ │origine), periodicitate │
│ │● Compunerea funcţiilor; exemple de funcţii │
│ │numerice │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în │Funcţia de gradul I │
│moduri diferite │● Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei │
│2. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice │f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b aparţin R, │
│pentru rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│sistemelor de ecuaţii │ecuaţia f (x) = 0 │
│3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din │● Interpretarea grafică a proprietăţilor │
│reprezentarea grafică a funcţiei de gradul I sau │algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul │
│din rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor│funcţiei │
│de ecuaţii │● Inecuaţii de forma ax + b ≤ 0 (<, >, ≥), │
│4. Exprimarea legăturii între funcţia de gradul I │a, b aparţin R, studiate pe R │
│şi reprezentarea ei geometrică │● Poziţia relativă a două drepte, sisteme de │
│5. Interpretarea graficului funcţiei de gradul I │tipul │
│utilizând proprietăţile algebrice ale funcţiei │┌ │
│6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei ││ax + by = c │
│situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului │< , a, b, c, m, n, p numere reale │
│ ││mx + ny = p │
│ │└ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Diferenţierea, prin exemple, a variaţiei liniare│Funcţia de gradul al II-lea │
│de cea pătratică │● Reprezentarea grafică a funcţiei f : R → R, │
│2. Completarea unor tabele de valori necesare │f(x) = ax^2 + bx + c cu a, b, c aparţin R │
│pentru trasarea graficului funcţiei de gradul │şi a diferit 0, intersecţia graficului cu axele │
│al II-lea │de coordonate, ecuaţia f (x) = 0, simetria faţă │
│3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea │de drepte de forma x = m cu m aparţine R │
│graficului funcţiei de gradul al II-lea (prin │● Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de │
│puncte semnificative) │forma │
│4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin │┌ │
│condiţii algebrice sau geometrice ││x + y = s │
│5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru │< , cu s,p aparţin R │
│caracterizarea soluţiilor ecuaţiei de gradul ││ xy = p │
│al II-lea şi pentru rezolvarea unor sisteme de │└ │
│ecuaţii │ │
│6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a│ │
│ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de │Interpretarea geometrică a proprietăţilor │
│date şi reprezentări grafice │algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea │
│2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în │● Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, │
│vederea comparării variaţiei lor │interpretare geometrică │
│3. Aplicarea formulelor de calcul şi a lecturii │● Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, semnul │
│grafice pentru rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii şi │funcţiei, inecuaţii de forma │
│sisteme de ecuaţii │ax^2 + bx + c ≤ 0 (≥, <, >), a, b, c aparţin R, │
│4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor │a diferit 0, interpretare geometrică │
│condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii │● Poziţia relativă a unei drepte faţă de o │
│algebrice a unor reprezentări grafice │parabolă: rezolvarea sistemelor de forma │
│5. Determinarea unor relaţii între condiţii │┌ │
│algebrice date şi graficul funcţiei de gradul ││ mx + n = y │
│al II-lea │< , cu a, b, c, m, n aparţin R, │
│6. Utilizarea monotoniei şi a punctelor de extrem ││ax^2 + bx + c = y │
│în optimizarea rezultatelor unor probleme practice │└ │
│ │interpretare geometrică │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor elemente de geometrie │Vectori în plan │
│vectorială în diferite contexte │● Segment orientat, vectori, vectori coliniari │
│2. Aplicarea regulilor de calcul pentru │● Operaţii cu vectori: adunarea (regula │
│determinarea caracteristicilor unor segmente │triunghiului, regula paralelogramului), │
│orientate pe configuraţii date │proprietăţi ale operaţiei de adunare; înmulţirea │
│3. Utilizarea operaţiilor cu vectori pentru a │cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un │
│descrie configuraţii geometrice date │scalar; condiţia de coliniaritate, descompunerea │
│4. Utilizarea limbajului calculului vectorial │după doi vectori │
│pentru a descrie anumite configuraţii geometrice │ │
│5. Identificarea condiţiilor necesare pentru ca o │ │
│configuraţie geometrică să verifice cerinţe date │ │
│6. Aplicarea calculului vectorial în rezolvarea │ │
│unor probleme din domenii conexe │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea elementelor necesare pentru │Trigonometrie şi aplicaţii ale trigonometriei în │
│calcularea unor lungimi de segmente şi a unor │geometrie │
│măsuri de unghiuri │● Rezolvarea triunghiului dreptunghic │
│2. Utilizarea unor tabele şi formule pentru calcule│● Cercul trigonometric, definirea funcţiilor │
│în trigonometrie şi în geometrie │trigonometrice: sin : [0,2Pi] → [-1,1], │
│3. Determinarea măsurii unor unghiuri şi a lungimii│ ┌ ┐ │
│unor segmente utilizând relaţii metrice │ │ Pi │ │
│4. Transpunerea într-un limbaj specific │cos: [0,2Pi] → [-1,1], tg: [0,Pi]- < ─── > → R, │
│trigonometriei şi geometriei a unor probleme │ │ 2 │ │
│practice │ └ ┘ │
│5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în │ctg: (0,Pi) → R │
│rezolvarea triunghiului oarecare │● Definirea funcţiilor trigonometrice: │
│6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor │sin: R → [-1,1], cos: R → [-1,1], │
│obţinute prin rezolvarea unor probleme practice │ ┌ ┐ │
│ │ │ Pi │ │
│ │tg: R - D → R, cu D = < ── + kPi│k aparţine Z >, │
│ │ │ 2 │ │
│ │ └ ┘ │
│ │ctg: R - D → R cu D = (kPi│k aparţine Z) │
│ │● Reducerea la primul cadran; formule │
│ │trigonometrice: sin (a + b), sin (a - b), │
│ │cos (a + b), cos (a - b), sin 2a, cos 2a, │
│ │● Modalităţi de calcul a lungimii unui segment şi│
│ │a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi │
│ │teorema cosinusului │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de │Mulţimi de numere │
│numere utilizate în algebră şi a formei de scriere │● Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu │
│a unui număr real în contexte specifice │exponent raţional, iraţional şi real ale unui │
│2. Compararea şi ordonarea numerelor reale │număr pozitiv nenul │
│utilizând metode variate │● Media aritmetică, media ponderată, media │
│3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu│geometrică, media armonică │
│puteri, radicali, logaritmi în contexte variate │● Radical unui număr (de ordin sau de ordin 3), │
│4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr │proprietăţi ale radicalilor │
│real în vederea optimizării calculelor │● Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale │
│5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea │logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de │
│optimizării calculelor │logaritmare │
│6. Determinarea unor analogii între proprietăţile │● Mulţimea C. Numere complexe sub formă │
│operaţiilor cu numere reale scrise în forme variate│algebrică, conjugatul unui număr complex, │
│şi utilizarea acestora în rezolvarea unor ecuaţii │operaţii cu numere complexe. │
│ │Rezolvarea în C a ecuaţiei de gradul al doilea │
│ │având coeficienţi reali │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcţii │Funcţii şi ecuaţii │
│2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin │● Funcţia putere: f: R → R, f(x) = x^n, │
│graficul unei funcţii în scopul deducerii unor │n aparţine N, n ≥ 2 şi funcţia radical: │
│proprietăţi ale acesteia (monotonie, semn, │f: D → R, f(x) = radical indice n din x, │
│bijectivitate, inversabilitate, continuitate, │ ─── │
│convexitate) │n = 2,3, unde D = [0,+∞) pentru n par şi D = R │
│3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în │pentru n impar │
│trasarea graficelor şi în rezolvarea de ecuaţii │● Funcţia exponenţială f : R → (0, +∞), │
│4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii │f (x) = a^x, a aparţine (0, +∞), a diferit 1 şi │
│concrete şi reprezentarea prin grafice a unor │funcţia logaritmică f: (0, +∞) → R, │
│funcţii care descriu situaţii practice │f (x) = log(a)x , a aparţine (0, +∞), │
│5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a │a diferit 1 │
│proprietăţilor algebrice ale funcţiilor │● Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; │
│6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi │funcţii inversabile: definiţie, proprietăţi │
│inversabilitate în trasarea unor grafice şi în │grafice, condiţia necesară şi suficientă ca o │
│rezolvarea unor ecuaţii algebrice │funcţie să fie inversabilă │
│ │● Funcţii trigonometrice directe şi inverse │
│Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor │● Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile │
│studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia│funcţiilor: │
│f(x) = 0, reprezentarea grafică prin puncte, │- Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau │
│simetrie, lectura grafică a proprietăţilor │de ordinul 3 │
│algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate,│- Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice, │
│inversabilitate, semn, convexitate. │utilizarea unor substituţii care conduc la │
│ │rezolvarea de ecuaţii algebrice │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Diferenţierea problemelor în funcţie de numărul │Metode de numărare │
│de soluţii admise │● Mulţimi finite: permutări, aranjamente, │
│2. Identificarea tipului de formulă de numărare │combinări, numărul tuturor submulţimilor unei │
│adecvată unei situaţii-problemă date │mulţimi cu n elemente │
│3. Utilizarea unor formule combinatoriale în │ │
│raţionamente de tip inductiv │ │
│4. Exprimarea caracteristicilor unor probleme în │ │
│scopul simplificării modului de numărare │ │
│5. Interpretarea unor situaţii-problemă având │ │
│conţinut practic, cu ajutorul elementelor de │ │
│combinatorică │ │
│6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor │ │
│probleme în scopul optimizării rezultatelor │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau│Matematici financiare │
│statistic în situaţii concrete │● Elemente de calcul financiar: procente, │
│2. Interpretarea primară a datelor statistice sau │dobânzi, TVA │
│probabilistice cu ajutorul calculului financiar, a │● Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor │
│graficelor şi a diagramelor │statistice: date statistice, reprezentarea │
│3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului │grafică a datelor statistice │
│financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru │● Interpretarea datelor statistice prin lectura │
│analiza de caz │reprezentărilor grafice │
│4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace │● Evenimente aleatoare egal probabile; │
│statistice, probabilistice a unor probleme practice│probabilitatea unui eveniment compus din │
│5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii │evenimente egal probabile │
│practice cu ajutorul conceptelor statistice sau │ │
│probabilistice │Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: │
│6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice │profit, preţ de cost al unui produs, amortizări │
│în scopul predicţiei comportării unui sistem prin │de investiţii, tipuri de credite, metode de │
│analogie cu modul de comportare în situaţii │finanţare, buget personal, buget familial. │
│studiate │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic│Geometrie │
│sau utilizând vectori │● Reper cartezian în plan, coordonatele unui │
│2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială │vector în plan, coordonatele sumei vectoriale, │
│a relaţiilor de paralelism │coordonatele produsului dintre un vector şi un │
│3. Utilizarea informaţiilor oferite de o │număr real, coordonate carteziene ale unui punct │
│configuraţie geometrică pentru deducerea unor │din plan, distanţa dintre două puncte în plan │
│proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor │● Ecuaţii ale dreptei în plan determinate de un │
│distanţe şi a unor arii │punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei │
│4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a│determinate de două puncte distincte │
│caracteristicilor matematice ale unei configuraţii │● Condiţii de paralelism, condiţii de │
│geometrice │perpendicularitate a două drepte în plan; linii │
│5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu │importante în triunghi, calcularea unor distanţe │
│paralelismul şi minimul distanţei │şi a unor arii │
│6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic,│ │
│sintetic sau vectorial │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor situaţii practice concrete, │ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL ŞI SISTEME DE │
│care necesită asocierea unui tabel de date cu │ECUAŢII LINIARE │
│reprezentarea matriceală a unui proces specific │Matrice │
│domeniului economic sau tehnic │● Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de │
│2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea │matrice │
│matriceală a unui proces │● Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, │
│3. Aplicarea algoritmilor de calcul cu matrice în │înmulţirea unei matrice cu un scalar, │
│situaţii practice │proprietăţi │
│4. Rezolvarea unor sisteme utilizând algoritmi │Determinanţi │
│specifici │● Determinantul unei matrice pătratice de ordin │
│5. Stabilirea unor condiţii de existenţă şi/sau │cel mult 3, proprietăţi │
│compatibilitate a unor sisteme şi identificarea │Sisteme de ecuaţii liniare │
│unor metode adecvate de rezolvare a acestora │ ─── │
│6. Optimizarea rezolvării unor probleme sau │● Matrice inversabile din M(n) (R), n = 2,3 │
│situaţii-problemă prin alegerea unor strategii şi │● Ecuaţii matriceale │
│metode adecvate (de tip algebric, vectorial, │● Sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute; │
│analitic, sintetic) │forma matriceală a unui sistem liniar │
│ │● Metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor │
│ │liniare │
│ │● Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de │
│ │două puncte distincte, aria unui triunghi şi │
│ │coliniaritatea a trei puncte în plan │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Caracterizarea unor funcţii utilizând │ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ │
│reprezentarea geometrică a unor cazuri particulare │Limite de funcţii │
│2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu│● Noţiuni elementare despre mulţimi de puncte pe │
│ajutorul reprezentărilor grafice │dreapta reală: intervale, mărginire, vecinătăţi, │
│3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului │dreapta încheiată, simbolurile +∞ şi -∞ │
│diferenţial în rezolvarea unor probleme │● Limite de funcţii: interpretarea grafică a │
│4. Exprimarea cu ajutorul noţiunilor de limită, │limitei unei funcţii într-un punct utilizând │
│continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor │vecinătăţi, limite laterale │
│proprietăţi cantitative şi calitative ale unei │● Calculul limitelor pentru funcţia de gradul I, │
│funcţii │funcţia de gradul al II-lea, funcţia │
│5. Utilizarea reprezentării grafice a unei funcţii │logaritmică, exponenţială, funcţia putere │
│pentru verificarea unor rezultate şi pentru │ ─── ─── │
│identificarea unor proprietăţi │( n = 2,3), funcţia radical (n = 2,3), funcţia │
│6. Determinarea unor optimuri situaţionale prin │raport de două funcţii cu grad cel mult 2, cazuri│
│aplicarea calculului diferenţial în probleme │exceptate la calculul limitelor de funcţii: │
│practice │0 ∞ │
│ │─, ─, 0.∞ │
│Notă: Se utilizează exprimarea "proprietatea │0 ∞ │
│lui .....," regula lui pentru a sublinia faptul că │● Asimptotele graficului funcţiilor studiate: │
│se face referire la un rezultat matematic utilizat │asimptote verticale, orizontale şi oblice │
│în aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în │Funcţii continue │
│afara programei. │● Continuitatea unei funcţii într-un punct al │
│ │domeniului de definiţie, funcţii continue, │
│ │interpretarea grafică a continuităţii unei │
│ │funcţii, operaţii cu funcţii continue │
│ │● Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcţii │
│ │continue pe un interval de numere reale │
│ │Funcţii derivabile │
│ │● Tangenta la o curbă. Derivata unei funcţii │
│ │într-un punct, funcţii derivabile │
│ │● Operaţii cu funcţii derivabile, calculul │
│ │derivatelor de ordin I şi de ordinul al II-lea │
│ │pentru funcţiile studiate │
│ │● Regulile lui l'Hospital pentru cazurile │
│ │0 ∞ │
│ │─, ─ │
│ │0 ∞ │
│ │Studiul funcţiilor cu ajutorul derivatelor │
│ │● Rolul derivatei de ordin I şi de ordinul al │
│ │II-lea în studiul funcţiilor: monotonie, │
│ │puncte de extrem, concavitate, convexitate │
│ │● Reprezentarea grafică a funcţiilor │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea structurilor algebrice, a │ELEMENTE DE ALGEBRĂ │
│mulţimilor de numere, de polinoame şi de matrice │Grupuri │
│2.1. Identificarea unei structuri algebrice prin │● Lege de compoziţie internă, tabla operaţiei │
│verificarea proprietăţilor acesteia │● Grup, exemple: grupuri numerice, grupul aditiv │
│2.2. Determinarea şi verificarea proprietăţilor │al claselor de resturi modulo n │
│unei structuri algebrice │● Morfism şi izomorfism de grupuri │
│3.1. Verificarea faptului că o funcţie dată este │Inele şi corpuri │
│morfism sau izomorfism │● Inel, exemple: inele numerice │
│3.2. Aplicarea unor algoritmi în calculul │(Z, Q, R, C), Z(n) │
│polinomial sau în rezolvarea ecuaţiilor algebrice │● Corp, exemple: corpuri numerice (Q, R, C), │
│4. Explicarea modului în care sunt utilizate, în │Z(p), p prim │
│calcule specifice, proprietăţile operaţiilor unei │Inele de polinoame cu coeficienţi într-un corp │
│structuri algebrice │comutativ (Q, R, C, Z(p), p prim) │
│5.1. Utilizarea structurilor algebrice în │● Forma algebrică a unui polinom, operaţii │
│rezolvarea unor probleme practice │(adunarea, înmulţirea, înmulţirea cu un scalar) │
│5.2. Determinarea unor polinoame sau ecuaţii │● Teorema împărţirii cu rest; împărţirea │
│algebrice care îndeplinesc condiţii date │polinoamelor, împărţirea cu X - a, │
│6.1. Exprimarea unor probleme practice, folosind │schema lui Horner │
│structuri algebrice sau calcul polinomial │● Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui │
│6.2. Aplicarea, prin analogie, în calcule cu │Bezout │
│polinoame, a metodelor de lucru din aritmetica │● Rădăcini ale polinoamelor; relaţiile lui │
│numerelor │Viete pentru polinoame de grad cel mult 3 │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea legăturilor dintre o funcţie │ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ │
│continuă şi derivata sau primitiva acesteia │Primitive (antiderivate) │
│2. Stabilirea unor proprietăţi ale calculului │● Primitivele unei funcţii definite pe un │
│integral, prin analogie cu proprietăţi ale │interval. Integrala nedefinită a unei funcţii │
│calculului diferenţial │continue, proprietatea de liniaritate a │
│3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor │integralei nedefinite. Primitive uzuale │
│integrale definite │Integrala definită │
│4. Explicarea opţiunilor de calcul al integralelor │● Definirea integralei Riemann a unei funcţii │
│definite, în scopul optimizării soluţiilor │continue prin formula Leibniz - Newton │
│5. Determinarea ariei unei suprafeţe plane şi a │● Proprietăţi ale integralei definite: │
│volumului unui corp, folosind calculul integral şi │liniaritate, monotonie, aditivitate în raport │
│compararea rezultatelor cu cele obţinute prin │cu intervalul de integrare │
│aplicarea unor formule cunoscute din geometrie │● Metode de calcul al integralelor definite: │
│6. Aplicarea calculului diferenţial sau integral în│integrarea prin părţi, integrarea prin schimbare │
│probleme practic │de variabilă. Calculul integralelor de forma │
│ │ │
│Notă: Se utilizează exprimarea "proprietate" sau │ P(x) │
│"regulă" pentru a sublinia faptul că se face │integrală de la a la b din ──── dx, grad Q ≤ 2 │
│referire la un rezultat matematic utilizat în │ Q(x) │
│aplicaţii, dar a cărui demonstraţie este în afara │ │
│programei. │ │
│ │Aplicaţii ale integralei definite │
│ │● Aria unei suprafeţe plane │
│ │● Volumului unui corp de rotaţie │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea în limbaj cotidian sau în probleme│Mulţimi şi elemente de logică matematică │
│a unor noţiuni specifice logicii matematice şi/sau │● Mulţimea numerelor reale: operaţii algebrice cu│
│a teoriei mulţimilor │numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul │
│2. Transcrierea unui enunţ în limbajul logicii │unui număr real, aproximări prin lipsă sau prin │
│matematice sau al teoriei mulţimilor │adaos; operaţii cu intervale de numere reale │
│3. Utilizarea reprezentărilor grafice (diagrame, │● Propoziţie, predicat, cuantificatori │
│reprezentări pe axă), a tabelelor de adevăr, pentru│● Operaţii logice elementare (negaţie, │
│efectuarea unor operaţii │conjuncţie, disjuncţie, implicaţie, echivalenţă),│
│4. Explicitarea caracteristicilor unor mulţimi │corelate cu operaţiile şi cu relaţiile dintre │
│folosind limbajul logicii matematice │mulţimi (complementară, intersecţie, reuniune, │
│5. Redactarea rezolvării unor probleme, corelând │incluziune, egalitate) │
│limbajul uzual cu cel al logicii matematice şi/sau │ │
│al teoriei mulţimilor │ │
│6. Transpunerea unei situaţii cotidiene în limbaj │ │
│matematic, rezolvarea problemei obţinute şi │ │
│interpretarea rezultatului │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor corespondenţe care sunt │Şiruri │
│şiruri, progresii aritmetice sau geometrice │● Modalităţi de a descrie un şir; şiruri │
│2. Reprezentarea în diverse moduri a unor │particulare: progresii aritmetice, progresii │
│corespondenţe, şiruri în scopul caracterizării │geometrice, determinarea termenului general al │
│acestora │unei progresii; suma primilor n termeni ai unei │
│3. Identificarea unor formule de recurenţă pe bază │progresii │
│de raţionamente de tip inductiv │ │
│4. Exprimarea caracteristicilor unor şiruri │ │
│folosind diverse reprezentări (formule, diagrame, │ │
│grafice) │ │
│5. Deducerea unor proprietăţi ale şirurilor │ │
│folosind diferite reprezentări sau raţionamente de │ │
│tip inductiv │ │
│6. Asocierea unei situaţii-problemă cu un model │ │
│matematic de tip şir, progresie aritmetică sau │ │
│geometrică │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea valorilor unei funcţii folosind │Funcţii; lecturi grafice │
│reprezentarea grafică a acesteia │● Reper cartezian, produs cartezian, │
│2. Identificarea unor puncte semnificative de pe │reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian│
│graficul unei funcţii │de mulţimi numerice; condiţii algebrice pentru │
│3. Folosirea unor proprietăţi ale funcţiilor pentru│puncte aflate în cadrane; drepte în plan de │
│completarea graficului unei funcţii pare, impare │forma x = m sau de forma y = m, m aparţine R │
│sau periodice │● Funcţia: definiţie, exemple, exemple de │
│4. Exprimarea proprietăţilor unor funcţii pe baza │corespondenţe care nu sunt funcţii, modalităţi │
│lecturii grafice │de a descrie o funcţie, lectură grafică; │
│5. Reprezentarea graficului prin puncte şi │egalitatea a două funcţii, imaginea unei │
│aproximarea acestuia printr-o curbă continuă │funcţii, graficul unei funcţii │
│6. Deducerea unor proprietăţi ale funcţiilor │● Funcţii numerice f : I → R, I interval de │
│numerice prin lectură grafică │numere reale; graficul unei funcţii, │
│ │reprezentarea geometrică a graficului, │
│ │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│ │interpretarea grafică a unor ecuaţii de forma │
│ │f (x) = g (x); proprietăţi ale funcţiilor │
│ │numerice introduse prin lectură grafică: │
│ │mărginire, monotonie, paritate/imparitate │
│ │(simetria graficului faţă de axa Oy sau faţă │
│ │de origine), periodicitate │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea funcţiei de gradul I descrisă în │Funcţia de gradul I │
│moduri diferite │● Definiţie; reprezentarea grafică a funcţiei │
│2. Identificarea unor metode grafice pentru │f : R → R, f (x) = ax + b, unde a, b aparţine R, │
│rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│ecuaţii │ecuaţia f (x) = 0 │
│3. Descrierea unor proprietăţi desprinse din │● Interpretarea grafică a proprietăţilor │
│rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de │algebrice ale funcţiei: monotonie, semnul │
│ecuaţii şi din reprezentarea grafică a funcţiei de │funcţiei │
│gradul I │● Inecuaţii de forma ax + b ≤ 0, (<, >, ≥), │
│4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii │a, b aparţine R studiate pe R │
│concrete ce se pot descrie prin funcţii de gradul I│● Poziţia relativă a două drepte; │
│ecuaţii, inecuaţii sau sisteme de ecuaţii │sisteme de tipul │
│5. Interpretarea cu ajutorul proporţionalităţii a │┌ │
│condiţiilor pentru ca diverse date să fie ││ax + by = c │
│caracterizate cu ajutorul unei funcţii de gradul I │< , a, b, c, m, n, p aparţin R │
│6. Rezolvarea cu ajutorul funcţiilor a unei ││mx + ny = p │
│situaţii-problemă şi interpretarea rezultatului │└ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Diferenţierea variaţiei liniare/pătratice prin │Funcţia de gradul al II-lea │
│exemple │● Reprezentarea grafică a funcţiei f : R → R, │
│2. Completarea unor tabele de valori necesare │f (x) = ax^2 + bx + c, a, b, c aparţine R, │
│pentru trasarea graficului │a diferit 0, │
│3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea │intersecţia graficului cu axele de coordonate, │
│graficului (trasarea prin puncte semnificative) │ecuaţia f (x) = 0, simetria faţă de drepte de │
│4. Exprimarea proprietăţilor unei funcţii prin │forma x = m, cu m aparţine R │
│condiţii algebrice sau geometrice │● Relaţiile lui Viete, rezolvarea sistemelor de │
│5. Utilizarea relaţiilor lui Viete pentru │forma │
│caracterizarea soluţiilor şi rezolvarea unor │┌ │
│sisteme ││x + y = s │
│6. Identificarea unor metode grafice de rezolvare a│< , s, p aparţine R │
│ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii ││xy = p │
│ │└ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea corespondenţei dintre seturi de │Interpretarea geometrică a proprietăţilor │
│date şi reprezentări grafice │algebrice ale funcţiei de gradul al II-lea │
│2. Reprezentarea grafică a unor date diverse în │● Monotonie; punct de extrem, vârful parabolei, │
│vederea comparării variaţiei lor │interpretare geometrică │
│3. Utilizarea lecturii grafice pentru rezolvarea de│● Poziţionarea parabolei faţă de axa Ox, │
│ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuaţii │semnul funcţiei, inecuaţii de forma │
│4. Exprimarea prin reprezentări grafice a unor │ax^2 + bx + c ≤ 0 (≥, <, >), │
│condiţii algebrice; exprimarea prin condiţii │cu a, b, c aparţin R, a diferit 0, interpretare │
│algebrice a unor reprezentări grafice │geometrică │
│5. Interpretarea unei configuraţii din perspectiva │● Poziţia relativă a unei drepte faţă de o │
│poziţiei relative a unei drepte faţă de o parabolă │parabolă: rezolvarea sistemelor de forma │
│6. Utilizarea lecturilor grafice în vederea │┌ │
│optimizării rezolvării unor probleme practice ││mx + n = y │
│ │< ' a, b, c, m, n aparţine R, │
│ ││ax^2 + bx + c = y │
│ │└ │
│ │interpretare geometrică │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor elemente de geometrie │Vectori în plan │
│vectorială în diferite contexte │● Segment orientat, vectori, vectori coliniari │
│2. Utilizarea reţelelor de pătrate pentru │● Operaţii cu vectori: adunarea (regula │
│determinarea caracteristicilor unor segmente │triunghiului, regula paralelogramului), │
│orientate pe configuraţii date │proprietăţi ale operaţiei de adunare, înmulţirea │
│3. Efectuarea de operaţii cu vectori pe │cu un scalar, proprietăţi ale înmulţirii cu un │
│configuraţii geometrice date │scalar, condiţia de coliniaritate, descompunerea │
│4. Utilizarea limbajului calculului vectorial │după doi vectori necoliniari │
│pentru a descrie anumite configuraţii geometrice │ │
│5. Identificarea condiţiilor necesare pentru │ │
│efectuarea operaţiilor cu vectori │ │
│6. Aplicarea calculului vectorial în descrierea │ │
│proprietăţilor unor configuraţii geometrice date │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Descrierea sintetică sau vectorială a │Coliniaritate, concurenţă, paralelism calcul - │
│proprietăţilor unor configuraţii geometrice în plan│vectorial în geometria plană │
│2. Reprezentarea prin intermediul vectorilor a unei│● Vectorul de poziţie a unui punct │
│configuraţii geometrice plane date │● Vectorul de poziţie a punctului care împarte │
│3. Utilizarea calcului vectorial sau a metodelor │un segment într-un raport dat, teorema lui │
│sintetice în rezolvarea unor probleme de geometrie │Thales (condiţii de paralelism) │
│metrică │● Vectorul de poziţie a centrului de greutate al │
│4. Trecerea de la caracterizarea sintetică la cea │unui triunghi (concurenţa medianelor unui │
│vectorială (şi invers) a unei configuraţii │triunghi) │
│geometrice date │ │
│5. Determinarea condiţiilor necesare pentru │ │
│coliniaritate, concurenţă sau paralelism │ │
│6. Analizarea comparativă a rezolvărilor vectorială│ │
│şi sintetică ale aceleiaşi probleme │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea elementelor necesare pentru │Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie │
│calcularea unor lungimi de segmente şi a unor │● Rezolvarea triunghiului dreptunghic │
│măsuri de unghiuri │● Formulele (fără demonstraţie): cos (180° - x) │
│2. Utilizarea unor tabele şi a unor formule pentru │= -cos x; sin (180° - x) = sin x │
│calcule în trigonometrie şi în geometrie │● Modalităţi de calcul a lungimii unui segment │
│3. Aplicarea teoremelor şi a formulelor pentru │şi a măsurii unui unghi: teorema sinusurilor şi │
│determinarea unor măsuri (lungimi sau unghiuri) │teorema cosinusului │
│4. Transpunerea într-un limbaj specific │ │
│trigonometriei şi/sau geometriei a unor probleme │ │
│practice │ │
│5. Utilizarea unor elemente de trigonometrie în │ │
│rezolvarea triunghiului dreptunghic/oarecare │ │
│6. Analizarea şi interpretarea rezultatelor │ │
│obţinute prin rezolvarea unor probleme practice │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de │Numere reale │
│numere utilizate în algebră şi a formei de scriere │● Numere reale: proprietăţi ale puterilor cu │
│a unui număr real în contexte variate │exponent raţional, iraţional şi real ale unui │
│2. Compararea şi ordonarea numerelor reale │număr pozitiv nenul, aproximări raţionale pentru │
│utilizând metode variate │numere reale │
│3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu│● Radical dintr-un număr (ordin 2 sau ordin 3), │
│puteri, radicali şi logaritmi în contexte variate │proprietăţi ale radicalilor │
│4. Alegerea formei de reprezentare a unui număr │● Noţiunea de logaritm, proprietăţi ale │
│real pentru optimizarea calculelor │logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaţia de │
│5. Alegerea strategiilor de rezolvare în vederea │logaritmare │
│optimizării calculelor │ │
│6. Analizarea validităţii unor afirmaţii prin │ │
│utilizarea aproximărilor, a proprietăţilor sau a │ │
│regulilor de calcul │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Exprimarea relaţiilor de tip funcţional în │Funcţii şi ecuaţii │
│diverse moduri │● Funcţia putere: f : R → D, f(x) = x^n, │
│2. Prelucrarea informaţiilor ilustrate prin │n aparţine N, n ≥ 2 şi funcţia radical: │
│graficul unei funcţii în scopul deducerii unor │f: D → R, f(x) = radical indice n din x, │
│proprietăţi algebrice ale acesteia (monotonie, │ ─── │
│bijectivitate, semn, convexitate) │n = 2,3, unde D = [0, +∞) pentru n par şi D = R │
│3. Utilizarea de proprietăţi ale funcţiilor în │pentru n impar │
│calcule şi aproximări, prin metode diverse │● Funcţia exponenţială f : R → (0, +∞), │
│4. Exprimarea în limbaj matematic a unor situaţii │f(x) = a^x, a aparţine (0, +∞), a diferit 1 şi │
│concrete ce se pot descrie printr-o funcţie de o │funcţia logaritmică f : (0, +∞) → R, │
│variabilă │f (x) = log(a)x, a aparţine (0, +∞) │
│5. Interpretarea unor probleme de calcul în vederea│● Rezolvări de ecuaţii folosind proprietăţile │
│optimizării rezultatului │funcţiilor: │
│6. Utilizarea echivalenţei dintre bijectivitate şi │- Ecuaţii care conţin radicali de ordinul 2 sau │
│inversabilitate în trasarea unor grafice şi în │de ordinul 3 │
│rezolvarea unor ecuaţii │- Ecuaţii exponenţiale, ecuaţii logaritmice, │
│ │utilizarea unor substituţii care conduc la │
│Notă: Pentru toate tipurile de funcţii se vor │rezolvarea unor ecuaţii algebrice │
│studia: intersecţia cu axele de coordonate, ecuaţia│ │
│f (x) = O, reprezentarea grafică prin puncte, │ │
│simetrie, lectura grafică a proprietăţilor │ │
│algebrice ale funcţiilor: monotonie, bijectivitate,│ │
│inversabilitate, semn, convexitate │ │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea unor date de tip probabilistic sau│Matematici financiare │
│statistic în situaţii concrete │● Probleme de numărare: permutări, aranjamente, │
│2. Interpretarea primară a datelor statistice sau │combinări │
│probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al│● Elemente de calcul financiar: procente, │
│graficelor şi al diagramelor │dobânzi, TVA │
│3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului │● Culegerea, clasificarea şi prelucrarea datelor │
│financiar, statisticii sau probabilităţilor pentru │statistice: date statistice, reprezentarea │
│analiza de caz │grafică a datelor statistice. Interpretarea │
│4. Transpunerea în limbaj matematic prin mijloace │datelor statistice │
│statistice sau probabilistice a unor probleme │● Evenimente aleatoare egal probabile, operaţii │
│practice │cu evenimente, probabilitatea unui eveniment │
│5. Analizarea şi interpretarea unor situaţii │compus din evenimente egal probabile │
│practice cu ajutorul conceptelor statistice sau │ │
│probabilistice │Notă: Aplicaţiile vor fi din domeniul financiar: │
│6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice │profit, calcularea preţului de cost al unui │
│în scopul predicţiei comportării unui sistem prin │produs, amortizări de investiţii, tipuri de │
│analogie cu modul de comportare în situaţii │credite, metode de finanţare, buget personal, │
│studiate │buget familial. │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Descrierea unor configuraţii geometrice analitic│Geometrie │
│sau utilizând vectori │● Reper cartezian în plan, coordonatele unui │
│2. Descrierea analitică, sintetică sau vectorială a│vector în plan; coordonatele sumei vectoriale, │
│relaţiilor de paralelism şi de perpendicularitate │coordonatele produsului dintre un vector şi un │
│3. Utilizarea informaţiilor oferite de o │număr real coordonate carteziene ale unui punct │
│configuraţie geometrică pentru deducerea unor │din plan, distanţa dintre două puncte în plan │
│proprietăţi ale acesteia şi calcularea unor │● Ecuaţii ale dreptei în plan determinată de un │
│distanţe şi a unor arii │punct şi de o direcţie dată şi ale dreptei │
│4. Exprimarea analitică, sintetică sau vectorială a│determinată de două puncte distincte date │
│caracteristicilor matematice ale unei configuraţii │● Condiţii de paralelism, condiţii de │
│geometrice │perpendicularitate a două drepte din plan, │
│5. Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu │calcularea unor distanţe şi a unor arii │
│paralelismul şi minimul distanţei │ │
│6. Modelarea unor configuraţii geometrice analitic,│ │
│sintetic sau vectorial │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Recunoaşterea şi diferenţierea mulţimilor de │Structuri algebrice │
│numere şi a structurilor algebrice │● Legi de compoziţie, proprietăţi │
│2. Identificarea unei structuri algebrice prin │● Structuri algebrice: monoid, grup, inel, corp. │
│verificarea proprietăţilor acesteia │Exemple: mulţimile N, Z, Z(n), Q, R │
│3. Compararea proprietăţilor algebrice sau │ │
│aritmetice ale operaţiilor definite pe diverse │ │
│mulţimi în scopul identificării unor algoritmi │ │
│4. Exprimarea proprietăţilor mulţimilor înzestrate │ │
│cu operaţii prin identificarea organizării │ │
│structurale a acestora │ │
│5. Utilizarea similarităţii operaţiilor definite pe│ │
│mulţimi diferite în deducerea unor proprietăţi │ │
│algebrice │ │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
┌───────────────────────────────────────────────────┬─────────────────────────────────────────────────┐
│ Competenţe specifice │ Conţinuturi │
├───────────────────────────────────────────────────┼─────────────────────────────────────────────────┤
│1. Identificarea unor situaţii practice concrete, │Elemente de calcul matriceal şi sisteme de │
│care necesită asocierea unui tabel de date cu │ecuaţii liniare │
│reprezentarea sa matriceală │Matrice │
│2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea │● Tabel de tip matriceal. Matrice, mulţimi de │
│matriceală a unui proces │matrice │
│3. Aplicarea, în situaţii practice, a algoritmilor │● Operaţii cu matrice: adunarea, înmulţirea, │
│de calcul cu matrice │înmulţirea unei matrice cu un scalar, │
│4. Rezolvarea unor sisteme, utilizând metode │proprietăţi │
│diferite de rezolvare şi compararea acestor metode │Determinanţi │
│5. Stabilirea compatibilităţii unor sisteme liniare│● Determinantul unei matrice pătratice de ordin │
│şi identificarea unor metode adecvate de rezolvare │cel mult 3, proprietăţi │
│a acestora │Sisteme de ecuaţii liniare │
│ │ ─── │
│ │● Matrice inversabile din M (R), n = 2,3. │
│ │ n │
│ │Ecuaţii matriceale │
│ │● Sisteme de ecuaţii liniare cu cel mult 3 │
│ │necunoscute; forma matriceală a unui sistem │
│ │liniar │
│ │● Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor │
│ │liniare │
│ │● Aplicaţii: ecuaţia unei drepte determinate de │
│ │două puncte distincte, aria unui triunghi şi │
│ │caracterizarea coliniarităţii a trei puncte │
│ │în plan │
└───────────────────────────────────────────────────┴─────────────────────────────────────────────────┘
