────────── Aprobate prin ORDINUL nr. 4.440 din 12 iunie 2023, publicat în Monitorul Oficial al României, Partea I, nr. 559 din 21 iunie 2023.────────── ANEXA 1 MINISTERUL EDUCAŢIEI PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA ŞCOLARĂ OPŢIONALĂ Sisteme de scriere şi codificare Clasele a V-a/a VI-a/a VII-a/a VIII-a învăţământ gimnazial Bucureşti, 2023 Notă de prezentare Programa pentru disciplina opţională integrată Sisteme de scriere şi codificare se adresează elevilor claselor a V-a - a VIII-a, având alocată o resursă de timp de o oră pe săptămână, pe durata unui an şcolar. Competenţele generale şi cele specifice, activităţile de învăţare şi conţinuturile asociate sunt transpuse într-un demers de tip inter- şi transdisciplinar, axat pe elemente specifice ariei curriculare limbă şi comunicare, dar complementat de elemente din ariile curriculare matematică şi ştiinţe ale naturii, precum şi arte şi tehnologii. Programa acestei discipline opţionale este realizată în acord cu setul de competenţe- cheie recomandate de Uniunea Europeană prin Recomandarea Consiliului Europei din data de 22 mai 2018 privind învăţarea pe tot parcursul vieţii, prin: ● competenţele de (multi)literaţie, printr-o explorare în diversitatea sistemelor de scriere şi de codificare, elevii învaţă, în mod aplicat, elementele de conţinut din mesaje, precum şi importanţa comunicării eficiente (pornind de la una dintre principalele caracteristici ale unui sistem de scriere, aceea de a alege un sistem de simboluri care să nu pună ulterior dificultăţi în recuperarea informaţiei scrise), adecvate (din perspectiva tipurilor de coduri dezvoltate în funcţie de contextul actual) şi creative (prin optica limbajelor artificiale); ● competenţele multilingvistice, prin conştientizarea diversităţii lingvistice, la nivel global; ● competenţele în domeniul matematicii, prin problematizare şi rezolvare de probleme autosuficiente, se creează o legătură interdisciplinară între limbă (ca sursă a corpusului problemei şi ca reguli) şi matematică (prin raţionamentele inductive şi deductive care stau la baza rezolvării problemei şi a înţelegerii sistemului de scriere reprezentat); ● competenţe de sensibilizare şi expresie culturală, prin identificarea trăsăturilor specifice unei culturi imprimate la nivel lingvistic şi conceptual/mental etc, precum şi prin empatia faţă de alte civilizaţii. În plus, prin utilizarea resurselor digitale şi prin activităţi de lucru în echipă se vor dezvolta, în plan secund, şi competenţele digitale şi sociale. Astfel, această disciplină opţională are un dublu scop: - pe de-o parte, de conştientizare a diversităţii lingvistice şi a diferenţelor care pot apărea între diferite persoane, comunităţi, popoare, ajutând astfel la educarea, sensibilizarea şi acceptarea diversităţii culturale. – pe de altă parte, prin modul în care activităţile de învăţare care stau la baza dezvoltării competenţelor specifice ale acestei discipline opţionale sunt proiectate, elevii vor avea oportunitatea de a experimenta un nou mod de învăţare, bazat exclusiv pe raţionamente deductive şi inductive, care îi va ajuta, pe termen scurt, la o abordare logică a învăţării limbilor străine, iar pe termen lung la dezvoltarea şi organizarea unui proces de învăţare personalizat, adaptat nevoilor individuale. Competenţe generale 1. Rezolvarea problemelor de lingvistică prin raţionamente deductive şi inductive, cu scopul de a stabili corelaţii între diferite sisteme de scriere 2. Exprimarea informaţiilor, a concluziilor şi a algoritmului de rezolvare pentru o situaţie dată, folosind limbajul lingvistic Competenţe specifice şi exemple de activităţi de învăţare
┌──────────────────────────────────────┐
│1. Rezolvarea problemelor de │
│lingvistică prin raţionamente │
│deductive şi inductive, cu scopul de a│
│stabili corelaţii între diferite │
│sisteme de scriere │
├──────────────────────────────────────┤
│1.1. Identificarea unor caractere, │
│date şi relaţii în procesul (de) │
│codării unui limbaj │
├──────────────────────────────────────┤
│- exersarea caracterelor │
│corespunzătoare diferitor sisteme de │
│scriere │
├──────────────────────────────────────┤
│- pronunţarea caracterelor în diferite│
│sisteme de scriere │
├──────────────────────────────────────┤
│- identificarea unor caractere într-o │
│schemă, într-un grafic, într-un tabel │
│sau index care conţine date │
│referitoare la o situaţie concretă │
├──────────────────────────────────────┤
│- stabilirea unor corespondenţe între │
│scrierea si citirea caracterelor │
├──────────────────────────────────────┤
│1.2. Prelucrarea unor date lingvistice│
│de tip structural, cantitativ şi │
│calitativ, cuprinse în sistemele de │
│scriere şi de codare/criptare │
├──────────────────────────────────────┤
│- exerciţii de transliterare dintr-un │
│sistem de semne în altul │
├──────────────────────────────────────┤
│- exerciţii de transcriere corectă a │
│unui mesaj dat dintr-un sistem de │
│semne în altul │
├──────────────────────────────────────┤
│- analizarea contrastivă a relaţiei │
│dintre sunet/grup de sunete/cuvânt │
│etc. si simbol sau grup de simboluri │
├──────────────────────────────────────┤
│- criptarea unor mesaje prin diferite │
│metode │
├──────────────────────────────────────┤
│1.3. Investigarea diferitelor tipuri │
│de sisteme de scriere din perspectivă │
│practică │
├──────────────────────────────────────┤
│- extragerea informaţiilor esenţiale │
│si de detaliu dintr-o problemă dată │
├──────────────────────────────────────┤
│- identificarea unei metode intuitive │
│adecvate pentru rezolvarea unei │
│probleme date │
├──────────────────────────────────────┤
│- aplicarea metodei adecvate pentru │
│rezolvarea unei probleme date │
├──────────────────────────────────────┤
│- generarea unor cuvinte/enunţuri noi,│
│în baza regulilor de (de)codare │
│identificate │
├──────────────────────────────────────┤
│2. Exprimarea informaţiilor, a │
│concluziilor şi a algoritmului de │
│rezolvare pentru o situaţie dată, │
│folosind limbajul lingvistic │
├──────────────────────────────────────┤
│2.1. Aplicarea conştientă a │
│achiziţiilor privitoare la diferite │
│sisteme de scriere şi de codare/ │
│criptare, pentru exprimarea corectă a │
│intenţiei comunicative │
├──────────────────────────────────────┤
│- completarea unor enunţuri cu faptele│
│de limbă omise │
├──────────────────────────────────────┤
│- transcrierea unor structuri │
│lingvistice corespunzătoare sarcinii │
│de lucru │
├──────────────────────────────────────┤
│- crearea unor jocuri lexicale │
│(calambururi) sau ortografice etc. │
├──────────────────────────────────────┤
│- aplicarea în contexte diverse si │
│autentice a noilor achiziţii │
│lingvistice │
├──────────────────────────────────────┤
│2.2. Evaluarea propriei scrieri şi a │
│scrierii celorlalţi, prin │
│valorificarea achiziţiilor grafematice│
├──────────────────────────────────────┤
│- analizarea unor construcţii │
│lingvistice din perspectiva sistemului│
│de scriere si/sau de codare/criptare │
├──────────────────────────────────────┤
│- corectarea unor construcţii │
│lingvistice în funcţie de normă, în │
│contexte diverse │
├──────────────────────────────────────┤
│- utilizarea resurselor digitale (de │
│exemplu: Omniglot) în vederea creării │
│unui mesaj propriu într-un sistem │
│necunoscut, folosind tabelul de │
│caractere si regulile ortografice │
├──────────────────────────────────────┤
│2.3. Modelarea lingvistică a unei │
│situaţii date, prin integrarea │
│achiziţiilor din diferite sisteme de │
│scriere şi de codare │
├──────────────────────────────────────┤
│- evidenţierea etapelor/algoritmului │
│specific metodei de rezolvare │
├──────────────────────────────────────┤
│- organizarea datelor lingvistice în │
│vederea explicării metodei de lucru │
├──────────────────────────────────────┤
│- utilizarea instrumentelor digitale │
│(de exemplu: Wordwall) pentru a crea │
│comunicări noi, corecte si coerente, │
│prin joc │
├──────────────────────────────────────┤
│- folosirea gândirii logice si │
│inovative în aplicarea conceptelor │
│lingvistice pentru crearea unor │
│sisteme de semne si codare proprii │
└──────────────────────────────────────┘
Conţinuturi
┌─────────────────┬────────────────────┐
│Domenii de │Conţinuturi │
│conţinut │ │
├─────────────────┼────────────────────┤
│ │• Conţinut semantic │
│ │versus conţinut │
│ │fonetic │
│ │• Sisteme │
│ │pictografice │
│ │• Sisteme │
│ │ideografice │
│ │• Sisteme │
│ │logografice │
│ │• Sisteme silabice │
│Sisteme clasice │Studiu de caz: │
│de scriere │Sistemul chinezesc │
│ │de scriere │
│ │• Sisteme alfabetice│
│ │• Sisteme │
│ │alfasilabice - abjad│
│ │• Sisteme │
│ │alfasilabice - │
│ │abugida │
│ │Studiu de caz: │
│ │Sisteme de scriere │
│ │artificiale │
├─────────────────┼────────────────────┤
│ │• Sisteme de scriere│
│ │pentru nevăzători: │
│ │- alfabetul Braille │
│ │• Variaţii ale │
│ │sistemului Braille │
│ │• Sisteme de notare │
│ │pentru surdo-muţi: │
│ │- limbajul semnelor/│
│Alte sisteme de │limbajul │
│scriere │mimico-gestual │
│ │• Sisteme de scriere│
│ │prescurtată, │
│ │stenografia │
│ │• Sisteme │
│ │internaţionale de │
│ │scriere: │
│ │- Codul Morse, │
│ │Alfabetul Fonetic │
│ │internaţional │
├─────────────────┼────────────────────┤
│ │• Sisteme │
│ │criptografice: │
│ │- scurt istoric, │
│ │relevanţă, │
│ │clasificare │
│ │• Cifruri cu │
│ │substituţie: │
│ │- cifrul Cezar, │
│ │cifrul Atbash, │
│Sisteme de │cifrul franco-mason │
│criptare a │• Cifruri cu │
│mesajelor. │transpoziţie: │
│Criptografie │- cifrul Rail Fence,│
│clasică │cifrul schitală, │
│ │transpoziţia │
│ │coloanelor │
│ │• Cifruri Polybius: │
│ │- Polybius simplu │
│ │- variante: Polybius│
│ │cu cheie, ADFGX şi │
│ │ADFGVX, cifrul bifid│
│ │• Cifruri pătrate: │
│ │- cifrul Playfair, │
│ │cifrul bipătrat │
└─────────────────┴────────────────────┘
Sugestii metodologice Programa disciplinei opţionale incluse în oferta naţională de curriculum la decizia şcolii dezvoltă învăţarea prin joc, fiind centrată pe elev, ca subiect al propriei formări, ţinând cont de necesităţile şi abilităţile fiecărui elev, integrându-le într-un demers inter- şi transdisciplinar pentru dezvoltarea logicii deductive şi inductive şi a capacităţii de corelare a conţinuturilor din diferite arii curriculare. Principalul instrument didactic este rezolvarea de probleme, pentru a încuraja învăţarea prin problematizare şi descoperire, după modelul folosit la olimpiadele de lingvistică, etapele naţionale şi internaţionale. Acesta poate fi completat de prezentări interactive, videoclipuri, filme care să prezinte evoluţia sistemelor de scriere şi modul în care dezvoltarea unui sistem de scriere sau de codificare este bazată aproape exclusiv pe necesităţile de comunicare. În plus, pot fi folosite secvenţe din documentare care arată procesul de decodificare a mesajelor criptografice în momente de cotitură din istoria umanităţii. Interesul elevilor poate fi stimulat şi prin conectarea conţinuturilor acestui opţional cu literatura şi filmografia ştiinţifico-fantastică recentă, astfel putându-se discuta despre diferite sisteme de scriere sau de comunicare artificiale, prezentate în diverse filme, cum ar fi Arrival (2016)), cărţi - trilogia Stăpânul Inelelor sau chiar jocuri video ca Myst. Învăţarea prin joc poate fi realizată şi prin proiecte (care să vizeze dezvoltarea propriului sistem de scriere, simboluri şi reguli ortografice) sau studii de caz în care să se investigheze şi să prezinte unul sau mai multe sisteme de scriere. Drept forme de organizare a activităţii didactice, se recomandă lucrul în echipă, astfel, elevii pot fi împărţiţi în grupe şi li se pot da diverse mesaje/texte/comunicări scrise codificate sau transcrise într-unul (sau mai multe) sisteme de notaţie prezentate, pentru a le decodifica. În proiectarea activităţilor de învăţare se pot alege demersuri inductive sau deductive. Având în vedere faptul că elevii nu trebuie să memoreze codurile sau diferitele sisteme de scriere, accentul va cădea pe formarea competenţei de rezolvare de probleme, pe deprinderea cu un algoritm de lucru, astfel încât să poată rezolva probleme care includ sisteme de scriere necunoscute. În acest sens, evidenţierea paşilor/a etapelor parcurse în rezolvarea problemelor (gândirea cu voce tare) este esenţială. De asemenea, este nevoie ca profesorul să ofere elevilor un feedback formativ, care să evidenţieze aspectele corecte şi să descrie/inventarieze greşelile tipice, prezentând şi soluţii concrete de corectare. În felul acesta, elevii îşi vor dezvolta atât competenţele prevăzute în prezenta programă, formându-şi, totodată, reflexul de autoevaluare. Prezentăm mai jos câteva probleme rezolvate, subliniind în fiecare caz paşii pe care profesorul şi elevii trebuie să îi parcurgă. În rezolvarea problemelor, pentru familiarizare, profesorul le poate prezenta elevilor câteva informaţii legate de zona unde este utilizat sistemul de scriere, ce limbi îl utilizează, o scurtă istorie a sa, informaţii culturale care derivă din folosirea respectivului sistem de scriere (precum citirea de la stânga la dreapta sau invers care se află în legătură cu poziţionarea geografică etc.) sau alte aspecte sugestive pentru rezolvarea problemelor, fără însă a se insista pe o încărcătură informaţională, evitând, astfel, suprateoretizarea. De subliniat este faptul că nu este necesar ca elevii să reţină informaţiile prezentate, acestea având rol doar în încadrarea sistemului de scriere în timp şi spaţiu. Problema 1. Afaka (autor: Vlad A. Neacşu) Sistemul de scriere afaka a fost creat în 1910 de Afaka Atumisi pentru scrierea limbii ndyuka. Mai jos este redată o parte din silabarul afaka: (a se vedea imaginea asociată) a) Cum se reprezintă următoarele silabe în sistemul afaka? do, pa, i, te b) Scrieţi în afaka numele creatorului acestui sistem, ştiind că sistemul afaka este scris de la stânga la dreapta. c) (a se vedea imaginea asociată) d) Plecând de la cerinţa (c), de ce credeţi că sistemul afaka nu ar fi potrivit pentru a scrie limba română? Modalitate de rezolvare: Pentru cerinţa (a) trebuie doar să înţelegem modul de utilizare al tabelului de caractere. Astfel, vocalele sunt reprezentate pe coloane, iar consoanele pe rânduri. În acest caz, fiecare silabă este reprezentată de o combinaţie dintre o consoană şi o vocală. În plus, folosim simbolul 0 pentru a arăta că silaba respectivă nu are consoană (este de tipul V, nu CV). (a se vedea imaginea asociată) Similar, putem rezolva cerinţa (b). Ştiind că sistemul afaka este scris de la stânga la dreapta, trebuie doar să divizăm numele creatorului - Afaka Atumisi (conform introducerii) - în silabele componente. Astfel, obţinem A-fa-ka A-tu-mi-si şi, folosind tabelul de caractere de mai sus, obţinem transliterarea acestuia în sistemul afaka: (a se vedea imaginea asociată) Pentru cerinţa (c) trebuie doar să observăm care simboluri din tabel se întind pe mai multe rânduri sau coloane. Astfel, observăm 13 perechi de silabe care au aceeaşi reprezentare: (a se vedea imaginea asociată) În final, subpunctul (d) încurajează o discuţie liberă despre cât de adecvate sunt anumite sisteme de scriere pentru anumite limbi. Acest fel de cerinţă nu va apărea în problemele de la olimpiade şi concursuri, având doar un rol didactic. Elevii pot sugera o varietate de motive pentru care acest sistem nu este potrivit pentru limba română, precum: ● în limba română există silabe complexe (de tipul CVC - cal, CVCC - corp, CCVCC - şfanţ). Acestea nu pot fi scrise folosind sistemul afaka, deoarece acesta permite doar silabe de tipul V sau CV. ● Limba română conţine sunete pentru care nu există corespondent în sistemul afaka (consoane precum c sau r, vocale precum ă sau î/â) ● În final, plecând de la punctul (c), afaka nu diferenţiază foarte multe silabe. Acest lucru este dezavantajos pentru limba română, deoarece avem foarte multe cuvinte care diferă strict prin aceste silabe, de exemplu: bară - pară, fostă - fustă, nasol - nasul etc. Problema 2. Devanagari (Alfred Zhurinsky, Olimpiada de Lingvistică din Rusia 1965) Sanscrita este o limbă antică a Indiei de Nord şi o limbă sacră a religiei hinduse. Este una dintre cele mai vechi limbi ale familiei indo-europene. De fapt, descoperirea faptului că limba sanscrită este înrudită cu limbile europene, precum româna, i-a determinat pe lingvişti să considere existenţa "familiei" limbilor indo-europene. Mai jos sunt date câteva cuvinte sau rădăcini în sanscrită, scrise folosind sistemul devanagari. Acesta este sistemul de scriere folosit în scrierile sacre hinduse, cunoscute ca Vedas, precum şi în multe alte limbi moderne vorbite în Asia de Sud. Pentru fiecare cuvânt este dată şi transcrierea corespunzătoare în alfabet latin, precum şi traducerea în limba română. (a se vedea imaginea asociată) a) Scrieţi în alfabet latin următoarele cuvinte sanscrite: (a se vedea imaginea asociată) b) Scrieţi următoarele cuvinte româneşti în sistemul de scriere devanagari: 5. nume 6. madam 7. vad 8. Chad Modalitate de rezolvare: Primul pas este analizarea simbolurilor utilizate, scrierea lor în alfabet latin şi traducerea acestora în limba română. Fiind o problemă care vizează sistemul de scriere, traducerea este opţională şi are rol doar în cunoaşterea contextului, nefiind, în general, esenţială pentru rezolvarea acestor tipuri de probleme. Importantă este corelaţia între caracterele utilizate în sistemul respectiv de scriere (în acest caz, devanagari) şi transpunerea acesteia în alfabet latin, dar în limba originală (transliteraţia). Rezolvarea va avea ca punct de plecare observarea asemănărilor şi a deosebirilor dintre simbolurile utilizate şi scrierea aceluiaşi cuvânt cu alfabet latin. (a se vedea imaginea asociată) Comparând caracterele pentru d şi da, observăm acea linie oblică în partea de jos a caracterului pentru d. Acest semn diacritic apare în toate cuvintele care se termină în consoană, de unde putem deduce că acest semn denotă elidarea/eliminarea/ştergerea vocalei, fiind astfel vorba de un sistem de tip abugida. Aşadar, deducem că în sistemul devanagari, fiecare caracter reprezintă o consoană şi o vocală, iar o linie în partea din dreapta jos a caracterului denotă eliminarea vocalei. Astfel, putem deduce toate caracterele din problemă: (a se vedea imaginea asociată) Ştiind că este un sistem abugida, putem crea un tabel pentru a analiza informaţiile de până acum şi pentru a descoperi modul de marcare a vocalelor: (a se vedea imaginea asociată) În baza acestei reprezentări, putem deduce cu uşurinţă următoarele reguli legate de sistemul de scriere devanagari (reprezentând prin C o consoană oarecare): ● simbolul corespunzător grupului Ca este forma de bază; ● eliminarea vocalei (pentru obţinerea simbolului corespunzător C) se face prin adăugarea unei linii oblice în partea din dreapta jos; ● simbolul corespunzător grupului Ce este obţinut din cel de bază, prin adăugarea unei linii oblice deasupra; ● simbolul corespunzător grupului Cu este obţinut prin adăugarea unei bucle sub forma de bază a caracterului. Pe baza acestor reguli, putem rezolva toate cerinţele problemei: a) (a se vedea imaginea asociată) O observaţie culturală este transcrierea cuvântului 4 (zeu) ca deva, care coincide cu începutul numelui sistemului de scriere devanagari. În realitate, cuvântul devanagari este format din deva + nagari, nagari însemnând oraş, astfel devanagari înseamnă locuinţa/locul zeilor. b) (a se vedea imaginea asociată) Model de redactare a răspunsului: a) (a se vedea imaginea asociată) b) (a se vedea imaginea asociată) Reguli: Sistem abugida, scris de la stânga la dreapta, cu vocala implicită a. (a se vedea imaginea asociată) Diacritice: (a se vedea imaginea asociată) Rezolvarea pas cu pas reprezintă raţionamentul pe care elevul trebuie să îl urmeze în rezolvarea problemei şi care îl va conduce la soluţia corectă. În schimb, redactarea este ceea ce elevul trebuie să scrie pe lucrare/foaie de concurs în momentul în care rezolvă o problemă de lingvistică. Trebuie menţionat că în cadrul competiţiilor şcolare de lingvistică, explicarea paşilor rezolvării şi a raţionamentului nu sunt necesare, elevul trebuind doar să redea regulile şi tiparele descoperite pentru a explica corpusul dat. Evaluarea nivelului de formare a competenţelor se poate face prin metode alternative, precum portofoliul, feedbackul, proiectul etc., punându-se accent pe autoevaluare. De asemenea, se recomandă utilizarea itemilor subiectivi, de tip rezolvare de probleme, cu atât mai mult cu cât competenţele vizează acest aspect, iar evaluarea se poate realiza prin intermediul unui test docimologic sau prin observare curentă. Problema 3. Cifrul Cezar şi cifrul Atbash (autor: Vlad A. Neacşu) Cifrurile reprezintă sisteme de mascare a sensului unui mesaj prin înlocuirea fiecărei litere a mesajului cu alte litere sau simboluri. Problema de faţă va folosi două cifruri, Cifrul Cezar şi Cifrul Atbash, iar pentru uşurinţa rezolvări, toate mesajele codificate vor fi fără diacritice (literele ă şi â vor fi reprezentate identic cu a, î cu i, ş cu s, ţ cu t). Cifrul Cezar (transcris în cifrul Cezar ca GMJVYP GIDEV) a fost utilizat de lulius Caesar în perioada Romei Antice. lulius Caesar descrie în memoriile sale privind cariera militară (De bello Gallico) cum a "mascat" cu viclenie sensul mesajelor de război extrem de importante ca să nu fie interceptate de inamici. Cifrul Atbash (transcris în cifrul Atbash ca XRUIFO ZGYZHS) este probabil cel mai renumit sistem de criptografie din tradiţia iudeo-creştină. Mai jos este dat un celebru citat al lui Berlot Brecht, codificat folosind cifrul Cezar şi cifrul Atbash. 1) RMGVORTVMGZ MF RMHVZNMZ HZ MF UZXR TIVHVOR XR HZ EVAR IVKVWV XFN KLGR HZ OV RMWIVKGR 2) MRXIPMKIRXE RY MRWIEQRE WE RY JEGM KVIWIPM GM WE ZIDM VITIHI GYQ TSXM WE PI MRHVITXM. a) Specificaţi care din cele două mesaje corespunde fiecărui cifru şi decodaţi citatul lui Berlot Brecht. b) Criptaţi următorul mesaj atât în cifrul Cezar, cât şi în cifrul Atbash. MATSUKATA MASAYOSHI A FOST PRIM MINISTRU AL JAPONIEI PRIMIND DECORAŢIA DOCTOR OF CIVIL LAW DIN PARTEA UNIVERSITĂŢII OXFORD Modalitate de rezolvare: Din notele de subsol aflăm că CIFRUL CEZAR se criptează ca GMJVYP GIDEV, de unde, ţinând cont de numărul de litere din fiecare cuvânt, deducem că ordinea cuvintelor se păstrează, iar din repetiţia literei R în CIFRUL CEZAR şi V în GMJVYP GIDEV, observăm că şi ordinea literelor se păstrează. Deducem astfel că în cifrul Cezar avem următoarele corespondenţe: G - C, M - I, J - F, V - R, Y - U, P - L, I - E, D - Z, E - A. Aplicând acelaşi raţionament pentru cifrul Atbash, deducem că şi în acesta ordinea literelor şi a cuvintelor se păstrează şi deducem corespondenţele: X - C, R - I, U - F, I - R, F - U, O - L, Z - A, G - T, Y - B, H - S, S - H. Este important de remarcat că în Cifrul Cezar codificările nu sunt simetrice (dacă litera M din cifrul Cezar reprezintă, în variantă decodată litera I, nu înseamnă şi că litera I din cifrul Cezar se va decoda ca M), pe când în Cifrul Atbash codificările sunt simetrice (se observă că R devine I şi I devine R, S devine H şi H devine S). Analizând al şaselea cuvânt (UZXR în mesajul 1, respectiv JEGM în mesajul 2) şi înlocuind literele deja cunoscute, observăm că JEGM este scris în cifrul Cezar şi se traduce prin FACI, iar QVTN este scris în cifrul Atbash. Deci mesajul 2 este criptat folosind Cifrul Cezar, iar mesajul 1 folosind Cifrul Atbash. Înlocuind în fiecare din cele două propoziţii corespondenţele cunoscute, obţinem următoarele decodări parţiale (am notat cu litere minuscule caracterele decriptate, iar cu majuscule litere încă nedecodate): 1) iMtVliTVMta Mu iMsVaNMa sa Mu faci TrVsVli ci sa EVAi rVKVWV cuN KLti sa lV iMWrVKti 2) iRXeliKeRXa Ru iRWeaQRa Wa Ru faci KreWeli ci Wa Zezi reTeHe cuQ TSXi Wa le iRHreTXi. Ştiind că ambele propoziţii conţin acelaşi mesaj şi că în cazul ambelor cifruri ordinea literelor este aceeaşi cu ordinea din limba română, putem deduce că în cifrul Cezar X înseamnă T, W - S, iar în cifrul Atbash: V înseamnă E, A - Z. Acum, cele două mesaje devin: 1) iMteliTeMta Mu iMseaNMa sa Mu faci Treseli ci sa Eezi reKeWe cuN KLti sa le iMWreKti 2) iRteliKeRta Ru iRseaQRa sa Ru faci Kreseli ci sa Zezi reTeHe cuQ TSti sa le iRHreTti. Din aceste informaţii putem cu uşurinţă deduce care este mesajul şi putem afla literele rămase. Mesajul final este: INTELIGENTA NU INSEAMNA SA NU FACI GRESELI CI SA VEZI REPEDE CUM POTI SA LE INDREPTI. Se observă că în cifrul Cezar fiecare literă este transpusă cu patru poziţii mai departe în alfabet, astfel litera A este criptată ca E, C - G, D - H, E - I, ..., Z - D. În cifrul Atbash, fiecare literă este înlocuită cu litera aflată pe aceeaşi poziţie, dar de la coada alfabetului, astfel: A - Z, C - X, D - W, E - V, ..., Z - A. Resurse bibliografice (selectiv): 1. Coulmas, Florian, The Blackwell encyclopedia of writing systems, Blackwell, Oxford, 1996; 2. Coulmas, Florian, Writing systems. An introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2003; 3. Daniels, Peter; Bright, William, The World's Writing Systems, Oxford University Press, Oxford, 1996; 4. Haarmann, Harald, Geschichte der Schrift, C. H. Beck, Munchen, 2004; 5. Joffrin, Laurent, Istoria Codurilor Secrete, Editura Litera, Bucureşti, 2010; 6. Neacşu, Vlad Andrei, Olimpiada de Lingvistică. Ghid de Pregătire, Bucureşti, Editura Universităţii din Bucureşti - Bucharest University Press, Bucureşti, 2022; 7. Robinson, Andrew, Istoria Scrisului. Alfabete, hieroglife şi pictograme, Editura Art, Bucureşti, 2009; 8. Rusu, Mina Maria, coord., Olimpiada de lingvistica "Solomon Marcus". Tehnici de înţelegere a limbilor lumii, Bucureşti, Editura Paralela 45, Bucureşti, 2017; 9. www.omniglot.com 10. www.wordwall.net 11. www.canva.com Grupul de lucru
┌──────────────────┬───────────────────┐
│Nume şi prenume │Instituţia de │
│ │provenienţă │
├──────────────────┼───────────────────┤
│Roxana-Ştefania │Colegiul Naţional │
│CIOBANU │Spiru Haret, │
│ │Bucureşti │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │Centrul Naţional de│
│Constantin-Ciprian│Politici şi │
│NISTOR │Evaluare în │
│ │Educaţie │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │City University of │
│Vlad-Andrei NEACŞU│Hong Kong, Hong │
│ │Kong SAR │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │Şcoala Gimnazială │
│Mariana PASCARU │Take Ionescu, │
│ │Râmnicu Vâlcea │
└──────────────────┴───────────────────┘
ANEXA 2 MINISTERUL EDUCAŢIEI PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA ŞCOLARĂ OPŢIONALĂ Sisteme de numeraţie Clasele a V-a/a VI-a/a VII-a/a VIII-a învăţământ gimnazial Bucureşti, 2023 Notă de prezentare Programa pentru disciplina opţională Sisteme de numeraţie se adresează elevilor claselor a V-a - a VIII-a, având alocată o resursă de timp de o oră pe săptămână, pe durata unui an şcolar. Acesta este un opţional integrat, având scopul de a familiariza elevii cu o abordare alternativă a noţiunilor matematice şi lingvistice, de a le deschide orizonturile gândirii critice şi transdisciplinare şi de a le aduce în prim-plan situaţii-problemă inedite într-o manieră ludică, prin studierea particularităţilor structurale ale sistemelor de numeraţie din diverse limbi şi familii de limbi. Elevii vor învăţa să îşi dezvolte gândirea logică şi analogică, prin structurarea regulilor lingvistice şi matematice care stau la baza reprezentării, a scrierii şi a citirii numeralelor în diferite limbi. În procesul de proiectare a acestei discipline opţionale s-au avut în vedere profilul de formare al absolventului de gimnaziu, programele şcolare în vigoare şi setul de competenţe- cheie pentru învăţarea pe tot parcursul vieţii reglementate la nivel european. Astfel, disciplina opţională este construită pe două direcţii principale de dezvoltare a competenţelor. Pe de-o parte, se are în vedere stimularea competenţelor din domeniul matematicii, prin exersarea şi aplicarea acestora cu scopul de a înţelege şi de a investiga tipologia sistemelor de numeraţie din lume atât din perspectivă structurală, cât şi din perspectivă matematică. Pe de altă parte, prin această disciplină opţională se pune accentul pe competenţele multilingvistice şi sociale, permiţând elevilor să descopere varietatea lingvistică şi culturală, existentă la nivel global. Astfel, printr-o abordare ludică, elevii vor conştientiza diversitatea limbilor lumii, prin intermediul sistemelor lor de numeraţie, precum şi implicaţiile culturale pe care aceasta le are, contribuind astfel la creşterea nivelului de empatie şi la dezvoltarea unei perspective interculturale. Parcurgerea acestei discipline opţionale va favoriza motivaţia intrinsecă a elevilor legată de învăţarea continuă, de a descoperi şi rezolva noi situaţii-problemă, de a depăşi gândirea stereotipă şi de a face faţă cu succes unor provocări inedite. Competenţe generale 1. Analizarea diferitelor sisteme de numeraţie, printr-o abordare practică 2. Rezolvarea unor situaţii-problemă prin raţionamente deductive şi inductive Competenţe specifice şi exemple de activităţi de învăţare
┌──────────────────────────────────────┐
│1. Analizarea diferitelor sisteme de │
│numeraţie, printr-o abordare practică │
├──────────────────────────────────────┤
│1.1. Recunoaşterea tipurilor de │
│simboluri care stau la baza │
│diferitelor sisteme de numeraţie: │
│cifre romane, arabe, indiene, manipuri│
│etc. │
│- recunoaşterea numerelor scrise în │
│diferite sisteme de reprezentare │
│- reprezentarea unor numere folosind │
│diverse sisteme │
│- convertirea unui număr dintr-un │
│sistem de numeraţie în altul/ │
│«transliterarea» unui număr dintr-un │
│sistem de numeraţie în altul │
│- alegerea tipului de reprezentare a │
│numeralelor în funcţie de contextul │
│lingvistic şi cultural/situaţii reale │
│(scrierea secolelor cu cifre romane │
│etc.) │
├──────────────────────────────────────┤
│1.2. Identificarea particularităţilor │
│de citire a numerelor în diferite │
│sisteme de numeraţie - identificarea │
│diferenţelor dintre reprezentarea unui│
│număr şi citirea acestuia în diferite │
│sisteme lingvistice/limbi │
│- exersarea utilizării noţiunilor de │
│cifră, multiplicator, ordin, clasă │
│- descompunerea numerelor în diferite │
│sisteme de numeraţie în bază 10 │
│- citirea numerelor în sisteme care │
│folosesc diferite tipuri de topică │
│ordin - multiplicator │
│- citirea numerelor în sisteme care │
│folosesc diferite tipuri de topică a │
│ordinelor şi a claselor │
│- identificarea modului de marcare a │
│operaţiilor matematice în citirea │
│numărului │
├──────────────────────────────────────┤
│1.3. Analizarea modului de formare a │
│numerelor în sisteme de numeraţie în │
│alte baze decât baza 10 │
│- identificarea conceptului de bază şi│
│a diferitelor contexte reale de │
│utilizarea a acestora (de exemplu: │
│ADN, calculatoare, horoscop, ceas │
│etc.) │
│- descompunerea numerelor în sisteme │
│de numeraţie diferite de baza 10 │
│- transformări dintr-o bază de │
│numeraţie în alta │
│- observarea asemănărilor şi a │
│diferenţelor în citirea numerelor, │
│utilizând diferite sisteme de │
│numeraţie │
│- compararea diferitelor sisteme de │
│numeraţie │
├──────────────────────────────────────┤
│2. Rezolvarea de situaţii-problemă │
│prin raţionamente deductive şi │
│inductive │
├──────────────────────────────────────┤
│2.1. Efectuarea unor operaţii │
│aritmetice de bază cu numere │
│reprezentate în diverse sisteme de │
│numeraţie │
│- realizarea de adunări cu numere │
│scrise în diferite sisteme de │
│numeraţie │
│- scăderea numerelor scrise în │
│diferite sisteme de numeraţie │
│- înmulţirea numerelor scrise în │
│diferite sisteme de numeraţie │
├──────────────────────────────────────┤
│2.2. Aplicarea unor raţionamente │
│inductive sau deductive în vederea │
│rezolvării de probleme de lingvistică │
│care vizează sisteme de numeraţie │
│- interpretarea informaţiilor primite │
│pentru rezolvarea problemelor │
│- alcătuirea schemei structurale a │
│sistemelor de numeraţie din punct de │
│vedere lingvistic │
│- reconstituirea unor operaţii date în│
│diferite contexte/în funcţie de │
│criterii date │
│- formularea regulilor care stau la │
│baza sistemului de numeraţie │
│extrapolarea regulilor identificate în│
│alte contexte pentru rezolvarea │
│sarcinii de lucru │
└──────────────────────────────────────┘
Conţinuturi
┌────────────────────┬─────────────────┐
│Domenii de conţinut │Conţinuturi │
├────────────────────┼─────────────────┤
│ │▪Tipuri de │
│ │civilizaţii şi │
│ │sistemele lor de │
│ │numeraţie: │
│ │- civilizaţia │
│ │babiloniană │
│ │- civilizaţia │
│ │arabă │
│Istoricul sistemelor│- civilizaţia │
│de numeraţie. Tipuri│romană │
│de reprezentare a │- alte │
│cifrelor │civilizaţii │
│ │▪Tipuri de cifre │
│ │şi reprezentări │
│ │numerice: │
│ │- cifre arabe │
│ │- cifre romane │
│ │- cifre manipuri │
│ │- numerale inuite│
│ │- alte │
│ │reprezentări │
├────────────────────┼─────────────────┤
│ │▪ Ordin, clasă, │
│ │multiplicator: │
│ │- ordinea │
│ │constituenţilor │
│ │în citirea şi │
│ │scrierea │
│ │numeralelor │
│Particularităţi de │- topica dintre │
│citire a numerelor │ordin şi │
│ │multiplicator │
│ │▪ Adunarea, │
│ │scăderea şi │
│ │înmulţirea │
│ │numerelor │
│ │▪ Tipuri de │
│ │numeraţie în baza│
│ │10 │
├────────────────────┼─────────────────┤
│ │▪ Baze de │
│ │numeraţie în │
│ │viaţa de zi cu zi│
│ │▪ Sisteme de │
│Alte baze de │numeraţie în alte│
│numeraţie │baze decât baza │
│ │10 │
│ │▪ Sisteme de │
│ │numeraţie cu bază│
│ │şi sub-bază │
└────────────────────┴─────────────────┘
Sugestii metodologice În proiectarea şi desfăşurarea activităţilor se vor avea în vedere experienţa şi achiziţiile dobândite anterior de către elevi. De asemenea, se va urmări ca învăţarea să se facă în cea mai mare parte prin descoperire şi problematizare, îmbinând nivelul intuitiv cu rigoarea ştiinţifică, evitându-se abordările specifice domeniului, precum şi teoretizarea excesivă sau memorarea unor concepte matematice/lingvistice. În proiectarea activităţilor de învăţare se va pune accent pe partea practică, aplicativă (pot fi utilizate materiale didactice pentru exemplificarea ordinului şi a trecerii peste ordin), abordarea intuitivă reprezentând o formă imediată de cunoaştere care oferă posibilitatea de a organiza şi de a gestiona informaţii în scopul construirii unei reprezentări schematice care să conducă la rezolvarea problemei. Se recomandă ca acţiunile didactice care au ca rezultat noile achiziţii să fie proiectate având ca bază de pornire analogiile şi abilităţile de transfer lingvistic ale elevului. Astfel, acestuia i se va dezvolta abilitatea de a fi capabil să organizeze, să ierarhizeze şi să gestioneze informaţii nestructurate în scopul unei reprezentări schematice a acestora, etapă necesară în formularea de idei şi generarea de metode care vor conduce la soluţionarea problemelor. Intuiţia este o primă etapă a înţelegerii unor informaţii sau rezultate, necesară în formarea şi dezvoltarea raţionamentului, de aceea se va insista pe abordarea unor metode de rezolvare a problemelor care să valorifice această capacitate. Abordarea conţinuturilor trebuie făcută gradual, adaptată la nivelul cognitiv al elevului, în măsura în care acestea constituie un mijloc de dezvoltare a competenţelor specifice. Se recomandă utilizarea "hărţilor lingvistice" pentru a permite elevului să îşi formeze şi o imagine a "geografiei şi a istoriei" numerelor şi sistemelor de numeraţie. Se recomandă ca în procesul didactic strategiile/metodele de învăţare clasice (învăţare intuitivă, brainstorming, conversaţie euristică, problematizare, lucru în echipă, concursuri etc.) să fie complementate de utilizarea calculatorului/internetului în scopul formării şi dezvoltării competenţelor digitale ale elevilor. Evaluarea se va face prin metode diverse: observarea continuă a activităţii elevului, discuţii frontale, activităţi desfăşurate în echipe, lucrări scrise, portofoliu cu rezolvările problemelor propuse. Fiind un curs opţional, se recomandă să fie pus mai mult accent pe funcţiile motivaţională şi informaţională ale evaluării. În proiectarea activităţilor de învăţare se pot alege demersuri inductive sau deductive. Având în vedere faptul că elevii nu trebuie să memoreze sistemele de numeraţie cu care operează, accentul va cădea pe formarea competenţei de rezolvare de probleme, pe deprinderea unui algoritm de lucru, astfel încât să poată rezolva probleme care includ sisteme de numeraţie necunoscute. În acest sens, evidenţierea paşilor/a etapelor realizate în rezolvarea problemelor (gândirea cu voce tare) este esenţială. De asemenea, este nevoie ca profesorul să ofere elevilor un feedback formativ, care să evidenţieze aspectele pozitive pe care le-au făcut elevii şi să descrie punctele slabe, prezentând şi soluţii concrete de remediere a acestor deficite. În felul acesta, elevii îşi vor dezvolta atât competenţele prevăzute în prezenta programă, cât şi competenţa de autoevaluare. În rezolvarea problemelor, pentru familiarizare, profesorul le poate prezenta elevilor câteva informaţii legate de zona unde este utilizat sistemul de numeraţie, un scurt istoric, informaţii culturale care derivă din folosirea respectivului sistem de scriere (precum citirea de la stânga la dreapta sau invers care se află în legătură cu poziţionarea geografică etc.) sau alte aspecte sugestive pentru rezolvarea problemelor, fără a se insista însă pe o încărcătură informaţională. De subliniat este faptul că nu este necesar ca elevii să reţină informaţiile prezentate, acestea având doar rol de contextualizare. În evidenţierea paşilor şi, implicit, în rezolvarea problemelor nu este nevoie ca elevul să cunoască sau să utilizeze o terminologie specifică limbii respective sau specifică domeniului lingvistic (de altfel, în cadrul competiţiilor nu se punctează folosirea termenilor lingvistici, ci prezentarea modului de rezolvare). Important este ca elevul să poată prezenta modul în care a ajuns la soluţiile prezentate. Altfel spus, să poată susţine argumentat soluţia la care a ajuns. În acelaşi timp, este important ca elevul să fie capabil să rezume toate informaţiile descoperite într-o manieră schematică, prezentând în scris doar regulile descoperite. Evaluarea nivelului de formare a competenţelor se poate face prin metode alternative de evaluare, precum portofoliul, chestionarul, cu accent pe autoevaluare. De asemenea, utilizarea itemilor subiectivi, de tip rezolvare de probleme, este de bază, cu atât mai mult cu cât competenţele vizează acest aspect, iar evaluarea se poate realiza prin intermediul unui test docimologic sau prin observare curentă. Glosar ● reprezentarea unui număr se referă la scrierea unui număr cu un set de simboluri (cifre). Diferite limbi pot folosi acelaşi sistem de reprezentare. De exemplu, în Europa, numerele se reprezintă în cifre arabe (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), indiferent de limbă. ● citirea unui număr se referă la scrierea în cuvinte a numărului într-o anumită limbă, aşa cum este el pronunţat. Aceeaşi reprezentare a unui număr poate fi citită în diferite moduri, în funcţie de limba la care facem referire. De exemplu, numărul reprezentat ca 234 este citit diferit în română (două sute treizeci şi patru), engleză (two hundred thirty-four), germană (zweihundertvierunddreiBig) etc. Redăm trei tipuri de probleme alături de rezolvarea lor pas cu pas, dar şi modelul de redactare a acestora. Abordarea progresivă, etapizată de tip step by step, reprezintă raţionamentul pe care elevul trebuie să îl urmeze în rezolvarea problemei şi care îl va conduce la soluţia corectă. În schimb, redactarea este ceea ce elevul trebuie să scrie pe lucrare/foaie de concurs în momentul în care rezolvă o problemă de lingvistică. Trebuie menţionat că în cadrul competiţiilor şcolare de lingvistică, explicarea paşilor rezolvării şi a raţionamentului nu sunt necesare, elevul trebuind doar să redea regulile şi tiparele descoperite pentru a explica corpusul dat. Problema 1 operează cu sistemul pentimal, un tip de reprezentare folosit în Scandinavia. Această problemă se subscrie competenţei specifice 1.1., respectiv primelor trei exemple de activităţi de învăţare. În primă etapă, elevii trebuie să recunoască numerele scrise în acest sistem, înţelegând regulile necesare convertirii unui număr din sistemul pentimal în sistemul uzual, respectiv cel în baza 10, scris cu cifre arabe. Pentru rezolvarea cerinţei (b), elevii trebuie să fie capabili să reprezinte anumite numere în acest sistem. Problema 2 vizează reconstituirea unei adunări în funcţie de anumite criterii date, activitate de învăţare subscrisă competenţei specifice 2.2. Problema 3 reprezintă o problemă complexă ce îmbină şase activităţi de învăţare. Pe de-o parte, elevii trebuie să înţeleagă modul de citire a numerelor în limba carelă, incluzând topica dintre ordin şi multiplicator precum şi identificarea modului de marcare a adunării şi a înmulţirii. Pentru a face acest lucru, elevii trebuie, de asemenea, să poată opera cu concepte precum cifră, multiplicator, ordin. Mai mult, pe lângă rezolvarea problemei, elevii trebuie să descrie regulile sau tiparele observate, trebuind astfel să alcătuiască schema structurală a acestui sistem de numeraţie, din punct de vedere lingvistic, să formuleze regulile care stau la baza acestui sistem de numeraţie şi, în final, să extrapoleze aceste reguli pentru a rezolva cerinţa dată. Problema 4 evidenţiază folosirea numerelor în contexte din afara sferei matematice, în acest caz pentru citirea orei în limba germană. Astfel, această problemă aduce în cotidian conceptele cu care elevii au operat până acum, fiind puşi în faţa unei situaţii din viaţa de zi cu zi. Similar problemei 3, această problemă combină mai multe activităţi de învăţare, de la identificarea diferenţelor de citire a numerelor (sau, specific, de citire a orei) în limba germană comparativ cu limba română până la formularea regulilor care stau la baza sistemului de numeraţie. Problema 1. Sistemul pentimal (autor: Vlad A. Neacşu) Sistemul pentimal este un tip de reprezentare a numerelor folosit în Scandinavia. Mai jos sunt date câteva numere scrise în sistemul pentimal, precum şi valorile lor scrise cu cifre arabe, în ordine aleatorie: (a se vedea imaginea asociată) Cerinţe: a) Determinaţi corespondenţele corecte care se stabilesc între cele două coloane. b) Scrieţi în sistemul pentimal numerele 16, 34, 83, 92. Sugestie de rezolvare: Observăm că unul dintre exemple (punctul e.) este alcătuit din două caractere identice, iar, în lista de numerale arabe, avem numărul 55 care, la rândul lui, conţine două cifre identice. (a se vedea imaginea asociată) Ştiind caracterul pentru 5, observăm că există un singur alt număr care conţine cifra 5, anume 85. Astfel, acesta trebuie să corespundă exemplului d. De aici deducem două informaţii importante: (a se vedea imaginea asociată) – scrierea numeralelor în sistemul pentimal respectă aceeaşi ordine ca în limba română, notându-se întâi cifra zecilor, apoi cea a unităţilor. (a se vedea imaginea asociată) (a se vedea imaginea asociată) Astfel, corespondenţele corecte sunt: a. - iv., b. - ii., c. - i., d. - vi., e. - iii., f - v. Pe baza informaţiilor de până acum, putem alcătui un tabel cu modul de reprezentare a cifrelor în sistemul pentimal: (a se vedea imaginea asociată) În plus, observăm că la cerinţa (b) ni se cere să scriem numere ce conţin cifrele 3 şi 9, care nu se regăsesc în exemplele date. Deducem, aşadar, că, în baza unor raţionamente inductive, trebuie să aflăm modul de formare a acestor cifre. Acest lucru se face cu uşurinţă, uitându-ne la tabelul de mai sus. Astfel, toate cifrele pornesc de la o linie verticală. Pentru cifrele de la 1 la 4, se adaugă 1 -4 linii orizontale. Cifra 5 are, ca formă de bază, caracterul P , iar pentru a obţine cifrele de la 6 la 9 se adaugă numărul de linii corespunzător (pentru cifra 5 + X se adaugă X linii). (a se vedea imaginea asociată) Putem corobora acum toate informaţiile necesare rezolvării cerinţei (b), respectiv lista simbolurilor corespunzătoare celor 9 cifre, precum şi faptul că întâi se scrie cifra zecilor, urmată de cifra unităţilor, răspunsurile pentru cerinţa (b) sunt: (a se vedea imaginea asociată) Modalitate de redactare: a) a-iv, b-ii, c-i, d-vi, e-iii, f-v. b) (a se vedea imaginea asociată) Reguli: 10X + Y este scris XY. (Alternativ: "ordinea cifrelor este zeci - unităţi"). (a se vedea imaginea asociată) Problema 2. Reconstituirea operaţiilor (autor: Steluţa Neacşu) Reconstituiţi operaţia: (a se vedea imaginea asociată) Sugestie de rezolvare: a) În rezolvarea acestui gen de probleme se ţine cont de următoarele aspecte: - literele sau simbolurile utilizate ţin locul cifrelor; – prima literă sau simbol nu poate fi 0; – în cadrul aceleiaşi operaţii, o literă sau un simbol corespunde aceleiaşi cifre, dar diferită de toate celelalte; – dacă în tot exerciţiul este utilizată o singură literă sau un singur simbol, acesta poate reprezenta cifre diferite; – în acest tip de probleme este folosită, în general, baza 10, dar nu neapărat. În acest caz, fie este specificată baza de numeraţie, fie enunţul conţine informaţii care fac deductibilă baza de numeraţie. b) Se analizează datele: - termenii sunt numere identice de două cifre; – suma este un număr de trei cifre identice; c) Se fac deducţii logice pe baza analizei de la pasul 1: - cea mai mică valoare a sumei celor trei termeni este 30, iar cea mai mare este 294; – suma este unul dintre numerele 111, 222, ..., 999; – putem avea trecere peste ordin. Pe baza paşilor anteriori, se încearcă eliminarea, prin raţionament logic, a numărului de posibilităţi: deoarece cel mai mare număr AB este 98, iar 98 + 98 + 98 = 294, înseamnă că C nu poate lua decât valorile 1 sau 2. Se rescrie problema, utilizând noile informaţii: I. AB + AB + AB = 111 sau II. AB + AB + AB = 222. Se finalizează raţionamentul şi se notează soluţiile: I. 3 . AB = 111, deci AB = 37, rezultând A = 3, B = 7, C = 1. II. 3 . AB = 222, deci AB = 74, rezultând A = 7, B = 4, C = 2. Problema 3. Carelă (Graeme Trousdale, Olimpiada de Lingvistică din Regatul Unit - UKLO, 2015; traducere şi adaptare în limba română de Vlad A. Neacşu) Limba carelă este o limbă fino-ugrică vorbită în Rusia de aprox. 35 600 de persoane. În organizatorul grafic de mai jos sunt date câteva numere scrise în limba carelă: (a se vedea imaginea asociată) a) Completaţi spaţiile libere din tabel. (a se vedea imaginea asociată) Sugestie de rezolvare: Uitându-ne la numerele 11-14, observăm că toate se termină în morfemul/secvenţa - toista. În plus, comparând perechile de exemplele 1 - 11, 2 - 12 şi 4 - 14, putem deduce că numerele între 11 şi 19 se formează prin adăugarea sufixului -toista la cifra unităţilor. Cu alte cuvinte, putem formula regula: 10 + X se scrie X-toista, cu X între 1 şi 9 (putem scrie X = 1,9). Pe baza acestei reguli, putem completa tabelul cu numeralele 3 (kolme), 15 (viizitoista) şi 19 (yheksantoista). Rămâne să descoperim cum se formează numeralele mai mari decât 20. Pe baza informaţiilor de până acum, este uşor de observat că acestea sunt formate din două cuvinte şi că al doilea cuvânt reprezintă cifra unităţilor (comparând exemplele 3 - 23, 6 - 36, 1 - 81, 2 - 92). Astfel, deducem că 7 = seicceman (deoarece este al doilea cuvânt din scrierea numărului 67) şi 8 = kaheksan (din scrierea numărului 58). Ştiind că al doilea cuvânt reprezintă unităţile, ne aşteptăm ca primul cuvânt să reprezinte zecile. Astfel, 20 = kaksikymmenda, 30 = kolmekymmenda, 50 = viizikymmenda. Comparând aceste cuvinte cu formele cifrelor 2, 3 şi 5, observăm că zecile se formează prin adăugarea sufixului -kymmenda. Cu alte cuvinte, putem scrie regula 10X = X-kymmenda. Nu în ultimul rând, trebuie să menţionăm că ordinea de alcătuire a numeralelor este zeci - unităţi. Altfel spus, întâi se scriu zecile, iar apoi unităţile. Modalitate de redactare: Reguli: (a se vedea imaginea asociată) a) (a se vedea imaginea asociată) Problema 4. Germană (autor: Vlad A. Neacşu) Limba germană aparţine grupului vestic al limbilor germanice. Aceasta formează împreună cu neerlandeza un continuum dialectal. Limba germană este vorbită ca limbă maternă de majoritatea populaţiei în Germania, Austria, Elveţia, Luxemburg şi Liechtenstein, în estul Belgiei, în sudul Danemarcei, în nordul Italiei, în voievodatul Opole al Poloniei şi în regiunile Alsacia şi Lorena din Franţa. De asemenea, germana e vorbită ca limbă maternă de 45 mii de persoane în Cehia şi de cca 110 mii de persoane în Ungaria. În România, limba germană este vorbită de circa 60 mii de persoane. În timp ce Mihai călătoreşte în Germania, pe parcursul unei zile, acesta întreabă diferite persoane Cât este ceasul? (Wie viel Uhr ist es?). Mai jos sunt date răspunsurile pe care le-a primit, precum şi traducerile acestora în limba română:
┌──┬──────────────┬────────────────────┐
│1.│vier nach │şapte şi patru │
│ │sieben │(minute) │
├──┼──────────────┼────────────────────┤
│2.│funfundzwanzig│opt şi douăzeci şi │
│ │nach acht │cinci (de minute) │
├──┼──────────────┼────────────────────┤
│3.│halb zehn │nouă şi jumătate │
├──┼──────────────┼────────────────────┤
│4.│vier vor zehn │zece fără patru │
│ │ │(minute) │
├──┼──────────────┼────────────────────┤
│5.│vierzig nach │zece şi patruzeci │
│ │zehn │(de minute) │
├──┼──────────────┼────────────────────┤
│ │dreizehn vor │nouă fără │
│6.│neun │treisprezece │
│ │ │(minute) │
├──┼──────────────┼────────────────────┤
│7.│zweiundfunfzig│opt şi cincizeci şi │
│ │nach acht │două (de minute) │
├──┼──────────────┼────────────────────┤
│8.│drei nach neun│nouă şi trei │
│ │ │(minute) │
└──┴──────────────┴────────────────────┘
a) Traduceţi în limba română: 9. dreiundvierzig nach vierzhen 10. halb sieben 11. achtzehn vor drei b) Traduceţi în limba germană: 12. opt şi jumătate 13. şapte şi cincisprezece (minute) 14. treisprezece fără douăzeci şi şapte (de minute) Notă: Litera u se pronunţă asemănător grupului iu din iunie. Sugestie de rezolvare: Pasul 1. Se încearcă descoperirea topicii şi, eventual, a unor conectori/conjuncţii. Se remarcă în toate construcţiile cu excepţia celei de-a doua, prezenţa cuvintelor nach sau vor. Putem, aşadar, deduce că acestea se traduc prin şi şi fără. Observând că toate construcţiile care au în germană particula nach (1, 2, 5, 7, 8) au în română particula şi, iar toate construcţiile care au în germană particula vor au în română particula fără putem deduce că nach = şi, iar vor = fără. Uitându-ne la structurile 2 şi 7, observăm că se repetă a doua parte a traducerii, nach acht. Deducem că în limba germană întâi se scriu minutele, după care se scrie ora. Pasul 2. După aflarea topicii, încercăm să construim un dicţionar, să aflăm traducerea a cât mai multe cuvinte. Bazându-ne pe regulile descrise mai sus, din construcţia 8 putem deduce că neun = nouă şi drei = trei. Similar, din 1 deducem: vier = patru, sieben = şapte, din 2 deducem: acht = opt, funfundzwanzig = douăzeci şi cinci, din 4: zehn = zece, din 5: vierzig = patruzeci, din 6: dreizehn = treisprezece, din 7: zweiundfunfzig = cincizeci şi doi, iar din 3: halb = jumătate. Pasul 3. Analizăm posibilele cazuri speciale. Uitându-ne la construcţia 3 vedem că traducerea acesteia în germană este halb zehn. Întrucât am aflat deja că zehn = zece, observăm că pentru orele de forma şi jumătate se foloseşte în germană halb urmat de ora imediat următoare; cu alte cuvinte, ora X şi jumătate se traduce în germană ca halb (X+1). Pasul 4. Se încearcă începerea rezolvării cerinţelor. La cerinţa (a) observăm că apar trei cuvinte necunoscute: achtzehn, vierzehn, dreiundvierzig. Aşadar, deducem că trebuie să căutăm şi anumite reguli de formare a unor cuvinte sau, mai specific, modul în care se formează numerele compuse (mai mari ca 10). Observăm că vierzig (patruzeci) este compus din vier (patru) şi sufixul zig. Deducem că zig marchează zecile. Uitându-ne la traducerea numeralelor douăzeci şi cinci, respectiv cincizeci şi doi observăm că ambele conţin particulele und şi zig. De asemenea, ambele au în rest particulele zwei (respectiv zwan) şi funf, dar în altă ordine. Cum deja am descoperit că zig se referă la numărul de zeci, iar această particulă este ataşată la finalul cifrei zecilor, deducem că în germană întâi se citesc întâi unităţile, iar apoi zecile. Aşadar deducem că zwei = doi şi funf = cinci. Rămâne neexplicată particula und, despre care putem presupune că este o particulă de legătură între unităţi şi zeci, similară cu şi din română (douăzeci şi şapte). Observăm, de asemenea, că zwanzig (douăzeci) este un caz special, formându-se neregulat (cuvântul douăzeci în germană este zwanzig, deşi ne-am aştepta să fie *zweizig). Aşadar, putem scrie regula: 10X + Y = Y-und-X-zig, unde X este între 2 şi 9, iar Y este între 1 şi 9, cu menţiunea că pentru X = 2, forma folosită este zwan, nu zwei. Deducem că dreiundvierzig = patruzeci şi trei De asemenea observăm că numeralul treisprezece (dreizehn) este alcătuit din particulele drei (trei) şi zehn (zece). Aşadar, putem deduce regula de formare a numeralelor între unsprezece şi nouăsprezece, putând scrie astfel regula: 10 + X = X-zehn, unde X este între 1 şi 9. Mai departe, deducem că vierzehn = paisprezece, iar achtzehn = optsprezece. Model de redactare: Reguli: (a se vedea imaginea asociată) a) 9. paisprezece şi patruzeci şi trei (de minute) 10. şase şi jumătate 11. trei fără optsprezece b) 12. halb neun 13. funfzehn nach sieben 14. siebenundzwanzig vor dreizehn Resurse bibliografice (selectiv): 1. Chrisomalis, Stephen, Numerical Notation: A Comparative History, Cambridge, Cambridge University Press, 2010; 2. Ifrah, Georges, Histoire universelle des chiffres, SEGHERS, 1981; 3. Ifrah, Georges, Les chiffres, Editions Robert Laffont, 1985; 4. Neacşu, Vlad Andrei, Olimpiada de Lingvistică. Ghid de Pregătire, Bucureşti, Editura Universităţii din Bucureşti - Bucharest University Press, Bucureşti, 2022; 5. Way, Steve; Law, Felicia, Matemagia - Numere şi alte enigme şi poveştile din spatele lor, Bucureşti, Didactica Publishing House, 2021; 6. Zaslavsky, Claudia, Africa counts: number and pattern in African cultures, Chicago, Chicago Review Press, 1999; 7. https://cester.utcluj.ro/lectures/ComputerProgramming_I/02_baze_numeratie.pdf 8. https://ro.wikipedia.org/wiki/Numera%C8%9Bia_greac%C4%83 9. http://gandirelogica.blogspot.com/2011/03/istoria-numerelor-partea-1.html 10. http://www.sf.airnet.ne.jp/~ts/language/number.html Grupul de lucru
┌──────────────────┬───────────────────┐
│Nume şi prenume │Instituţia de │
│ │apartenenţă │
├──────────────────┼───────────────────┤
│Roxana-Ştefania │Colegiul Naţional │
│Ciobanu │Spiru Haret, │
│ │Bucureşti │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │Centrul Naţional de│
│Constantin-Ciprian│Politici şi │
│Nistor │Evaluare în │
│ │Educaţie │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │City University of │
│Vlad Andrei Neacşu│Hong Kong, Hong │
│ │Kong SAR │
├──────────────────┼───────────────────┤
│Eleonora Steluţa │Colegiul Energetic,│
│Neacşu │Râmnicu Vâlcea │
├──────────────────┼───────────────────┤
│Ana-Maria Udrescu │Colegiul Energetic,│
│ │Râmnicu Vâlcea │
└──────────────────┴───────────────────┘
ANEXA 3 MINISTERUL EDUCAŢIEI PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA ŞCOLARĂ OPŢIONALĂ Matematică în natură şi arte Clasele a VII-a/a VIII-a, învăţământ gimnazial Bucureşti, 2023 Notă de prezentare Programa pentru disciplina opţională Matematică în natură şi arte se adresează elevilor claselor a VII-a şi a VIII-a, având alocată o resursă de timp de o oră pe săptămână, pe durata unui an şcolar. Prezenta programă este în concordanţă cu noua viziune centrată pe formarea de competenţe. În proiectarea acestui opţional integrat s-au avut în vedere profilul de formare al absolventului de gimnaziu, programele şcolare în vigoare, precum şi competenţele-cheie de învăţare pe tot parcursul vieţii definite în Recomandarea Consiliului Uniunii Europene din 22 mai 2018. Această disciplină şcolară opţională urmăreşte dezvoltarea unor noi competenţe inter- şi transdisciplinare, prin corelarea specificului mai multor arii curriculare: matematică şi ştiinţe ale naturii, respectiv arte. Astfel, profesorului îi este oferită posibilitatea de a le prezenta elevilor şi a îi ajuta să descopere, să aprofundeze sau să extindă seturile de competenţe ale disciplinelor prevăzute în planurile-cadru de învăţământ. În plus, această disciplină opţională contribuie la consolidarea unei culturi generale care conduce la dezvoltarea sensibilităţii şi la creşterea înţelegerii diversităţii culturale. La matematică, fiind disciplină de examen, numărul orelor alocate pentru corelarea conţinuturilor matematice cu alte discipline tinde să devină din ce în ce mai mic, iar elevii percep matematica drept obiect de studiu de sine stătător, fără aplicabilitate practică, cu atât mai puţin corelând-o cu artele sau natura. De asemenea, disciplinele biologie şi educaţie plastică se sprijină pe aparatul matematic pe care elevii îl au însuşit deja, dar fără a se puncta neapărat rolul pe care matematica l-a jucat în obţinerea rezultatelor specifice disciplinelor pe care ei le studiază (de exemplu, asemănarea la perspectivă, probabilităţi la genetică). Această programă de opţional îşi propune să coreleze între ele conţinuturi studiate din diferite arii curriculare şi să dezvolte noi competenţe. În predarea matematicii se pierde, de obicei, din vedere componenta ludică a activităţii didactice şi a conţinuturilor, disciplina fiind percepută, în general, de elevi ca aridă, neprietenoasă şi fără utilitate practică. Această disciplină îşi propune să integreze matematica în viaţa cotidiană, să dezvolte elevilor motivaţia intrinsecă legată de actul învăţării, ştiut fiind că ceea ce înveţi de plăcere nu uiţi niciodată. Disciplina opţională încurajează învăţarea prin descoperire şi studiu practic, dezvoltând abilităţile specifice mai multor discipline în vederea clarificării unei probleme din mai multe perspective, a formării unei gândiri inter- şi transdisciplinare şi a stimulării curiozităţii. Disciplinele de studiu completează, fiecare în funcţie de propriul specific, procesul de învăţare în vederea clarificării temelor investigate. Interdisciplinaritatea este parte componentă a unui învăţământ modern care are ca scop, la finalul traseului educaţional, o integrare optimă a elevului în familie şi societate. O cunoaştere holistică a lumii aduce cu sine o înţelegere profundă a micro- şi macrocosmosului, a reperelor ştiinţifice şi morale, precum şi o adaptabilitate la condiţiile sociale şi economice actuale. Această disciplină şcolară opţională aduce plus-valoare prin contribuţia directă la dezvoltarea cadrului curricular existent, prin abordarea integrată şi prin promovarea competenţelor-cheie pentru integrarea viitoare a elevilor pe piaţa muncii. Prin parcurgerea acestei discipline opţionale, elevii vor exersa activităţi de învăţare al căror specific este inter- şi transdisciplinar, acestea permiţându-le să dobândească achiziţii cognitive superioare. Competenţe generale 1. Aplicarea conceptelor matematice în descrierea şi explicarea unor noţiuni din artă şi a relaţiilor cu mediul natural 2. Explicarea operelor de artă şi a realităţii, prin realizarea unor legături conceptuale intra- şi interdisciplinare cu disciplinele STEM 3. Rezolvarea de probleme în cadrul unor investigaţii prin observarea şi generalizarea unor modele sau regularităţi din mediul apropriat Competenţe specifice şi exemple de activităţi de învăţare
┌──────────────────────────────────────┐
│1. Aplicarea conceptelor matematice în│
│descrierea şi explicarea unor noţiuni │
│din artă şi a relaţiilor cu mediul │
│natural │
├──────────────────────────────────────┤
│1.1. Identificarea elementelor │
│matematice în construcţii │
│arhitecturale remarcabile şi în natură│
│- vizionarea şi discutarea unor │
│materiale video sau albume care au │
│drept conţinut construcţii remarcabile│
│şi picturi celebre: Capela Palatină │
│din Sicilia, Marea Moschee din │
│Cordoba, Monalisa etc. │
│- punerea în evidenţă a unor elemente │
│de construcţii geometrice observabile │
│în construcţii remarcabile şi picturi │
│celebre │
│- studierea în natură sau cu ajutorul │
│unor imagini a dispunerii frunzelor şi│
│petalelor şi corelarea acestor │
│observaţii cu noţiuni matematice │
│- măsurarea diverselor părţi ale │
│corpului şi efectuarea raportului │
│dintre rezultatele obţinute │
├──────────────────────────────────────┤
│1.2. Efectuarea de observaţii şi │
│calcule pentru obţinerea termenilor │
│din şirul lui Fibonacci │
│- scurtă istorie despre Fibonacci şi │
│numărul de aur │
│- definirea intuitivă a numărului de │
│aur pornind de la împărţirea unui │
│segment, respectiv de la fracţii │
│parţiale sau radical infinit │
├──────────────────────────────────────┤
│1.3. Utilizarea instrumentelor pentru │
│construcţii geometrice │
│- folosirea riglei şi a compasului │
│pentru împărţirea în părţi egale a │
│unui segment, unghi sau cerc │
│- construirea cu rigla şi compasul a │
│poligoanelor regulate: pătrat, │
│pentagon, hexagon etc. │
├──────────────────────────────────────┤
│2. Explicarea operelor de artă şi a │
│realităţii, prin realizarea unor │
│legături conceptuale intra- şi │
│interdisciplinare cu disciplinele STEM│
├──────────────────────────────────────┤
│2.1. Realizarea unor elemente de │
│arhitectură cu ajutorul instrumentelor│
│de geometrie │
│- utilizarea construcţiilor cu rigla │
│şi compasul pentru obţinerea modelelor│
│decorative întâlnite la Marea Moschee │
│din Cordoba, Capela Palatină din │
│Sicilia, Marea Moschee din Damasc, │
│Palatul Alhambra din Granada etc. │
├──────────────────────────────────────┤
│2.2. Analizarea unor elemente din │
│natură şi artă care „respectă” şirul │
│lui Fibonacci │
│- măsurarea distanţelor dintre │
│frunzele dispuse pe tulpina unei │
│plante şi analizarea rezultatelor prin│
│raportare la şirul lui Fibonacci, │
│respectiv numărul de aur │
│- analizarea numărului de petale ale │
│florilor şi raportarea rezultatelor la│
│şirul lui Fibonacci; │
│- analizarea raportului între diverse │
│părţi anatomice ale corpului omenesc │
│şi raportarea lor la numărul de aur │
│- utilizarea unor imagini ale unor │
│tablouri în care să se pună în │
│evidenţă numărul de aur │
├──────────────────────────────────────┤
│3. Rezolvarea de probleme în cadrul │
│unor investigaţii prin observarea şi │
│generalizarea unor modele sau │
│regularităţi din mediul apropriat │
├──────────────────────────────────────┤
│3.1. Identificarea contextelor în care│
│pot fi folosite noţiuni şi │
│raţionamente matematice │
│- identificarea altor discipline care │
│aparţin sau nu curriculumului în care │
│sunt identificate noţiuni matematice │
│cunoscute de către elevi (geografie, │
│astronomie etc.) │
│- vizionarea de documentare │
│3.2. Utilizarea în diferite contexte │
│din viaţa cotidiană a algoritmilor de │
│construcţie cu rigla şi compasul şi a │
│rapoartelor termenilor şirului lui │
│Fibonacci │
│- realizarea de proiecte individuale │
│sau în echipă cu teme corelate cu │
│tematica parcursă │
│- realizarea de machete care să │
│evidenţieze temele abordate │
│- realizarea de materiale utilizabile │
│în activităţi extracurriculare │
│(parteneriate şcolare, schimburi de │
│experienţă etc.) │
└──────────────────────────────────────┘
Conţinuturi
┌─────────────┬────────────────────────┐
│Domenii de │Conţinuturi │
│conţinut │ │
├─────────────┼────────────────────────┤
│ │• Construcţii │
│ │arhitectonice şi │
│ │specificul lor: Roma │
│ │(Amfiteatrul Flavian/ │
│ │Colosseumul, Pantheonul,│
│ │Forul lui Traian, │
│ │Bazilica San Pietro), │
│ │Atena (Partenonul), │
│ │Sydney (Sydney Opera │
│ │House), Barcelona │
│ │(Sagrada Familia), Paris│
│ │(Muzeul Luvru, Turnul │
│Elemente │Eiffel, Arcul de Triumf,│
│matematice în│Domul Invalizilor), │
│construcţii │Cairo (complexul de │
│arhitectonice│piramide din Giza), │
│(simetrii, │Praga (Podul Carol), │
│proporţii, │India (mausoleul Taj │
│rapoarte) │Mahal), Washington DC │
│ │(clădirea Pentagonului),│
│ │New York (Zgârie-norii │
│ │din cartierul │
│ │Manhattan), Bucureşti │
│ │(Atheneul Român, Palatul│
│ │CEC, Banca Naţională a │
│ │României) etc. │
│ │• Structuri geometrice │
│ │şi plastice în lucrările│
│ │marilor maeştri: │
│ │Leonardo, Michelangelo, │
│ │Donatello, Rafael, │
│ │Bramante etc. │
├─────────────┼────────────────────────┤
│ │• Trisecţia unghiului │
│ │folosind rigla şi │
│ │compasul │
│ │• Cvadratura cercului │
│ │• Împărţirea cercului în│
│ │părţi egale. Construirea│
│ │poligoanelor regulate │
│ │• Elemente arhitecturale│
│ │decorative construite cu│
│ │rigla şi compasul: │
│ │frontonul, friza, │
│ │arhitrava, coloanele │
│ │dorice, ogivele, │
│ │contraforţii │
│ │• Stilizare, motiv unic │
│Construcţii │şi motiv repetabil. │
│cu rigla şi │Repetiţia şi alternanţa.│
│compasul │(rozete din arhitectura │
│ │gotică şi orientală: │
│ │Catedrala din Chartre, │
│ │Catedrala Notre Dame │
│ │(Paris), Marea Moschee │
│ │(Cordoba), Palatul │
│ │Alhambra (Spania), │
│ │mozaicuri romane: Castel│
│ │di Guido, Palazzo │
│ │Massimo alle Terme │
│ │(Roma), Basilica San │
│ │Vitale (Ravenna), │
│ │vitralii: rozasele din │
│ │Catedrala din Orvieto │
│ │(ltalia) şi Strasbourg │
│ │(Franţa) │
├─────────────┼────────────────────────┤
│ │• Şirul lui Fibonacci. │
│ │Numărul de aur │
│ │• Construcţia numărului │
│ │de aur. Dreptunghiul phi│
│Şirul lui │• Lumea plantelor, a │
│Fibonacci, │animalelor şi numărul de│
│numărul de │aur │
│aur şi │• Corpul omenesc şi │
│importanţa │numărul de aur │
│lor în │• Importanţa şirului lui│
│diferite │Fibonacci în pictură şi │
│discipline │arhitectură │
│ │• Piramidele din Egipt │
│ │şi numărul de aur │
│ │• Henri Coandă şi │
│ │numărul de aur │
└─────────────┴────────────────────────┘
Notă! Conţinuturile sunt cu titlu ilustrativ. Profesorul poate selecta din listă acele exemple care corespund particularităţilor elevilor sau poate să propună alte conţinuturi care să sprijine dezvoltarea competenţelor. Sugestii metodologice În proiectarea şi desfăşurarea activităţilor se va avea în vedere experienţa acumulată anterior de elevi în domeniile matematică, biologie şi educaţie plastică/vizuală. Sarcinile de învăţare se vor formula în ordine crescătoare a gradului de dificultate şi vor fi adaptate nivelului de dezvoltare cognitivă a elevilor. Introducerea noilor noţiuni se va face, în mare măsură, prin observare, măsurare şi exersare. Nu se va insista pe conţinuturi teoretice din matematică, biologie, educaţie plastică, ci se va pune accent pe dimensiunea aplicativă a matematicii în alte domenii, avându-se în vedere inter- şi transdisciplinaritatea. Este indicată prezentarea de materiale scrise (planşe, albume de artă, atlase botanice, anatomice) sau video pe baza cărora elevii să fie dirijaţi în descoperirea elementelor ce ţin de matematică şi care se regăsesc în respectivele materiale. Pentru realizarea construcţiilor geometrice, respectiv a structurilor şi modelelor, se va porni de la elemente de bază: cerc (elemente de arhitectură obţinute prin intersecţia mai multor cercuri care au aceeaşi rază), triunghi echilateral, pătrat (împărţirea acestuia cu ajutorul compasului în 8, 12 sau 16 părţi egale), hexagon (împărţirea acestuia în 12 părţi egale), construcţia pentagonului regulat cu rigla şi compasul şi, ulterior, combinaţii ale acestor construcţii pentru generarea unor elemente decorative întâlnite în arhitectură. De exemplu, la "Stilizare. Motiv unic, motiv repetitiv" se pot realiza construcţii cu rigla şi compasul ca în imaginile de mai jos: (a se vedea imaginea asociată) (a se vedea imaginea asociată) Figura 1. Modele geometrice regăsite în Al-Andalus şi Maghreb. Sursa imaginii: https://www.researchgate.net/publication/281197636 The Great Mosque of Tlemcen and the Do me of its Maqsuraem/figures?lo=1 (a se vedea imaginea asociată) Figura 2. Modele repetitive în construcţii arhitecturale celebre. Sursa imaginii: https://www.researchqate.net/fiqure/Construction-studv-on-seven-qreat-mosaues-and- complexes-a-The-Great-Mosque-of-Cordoba-b figl 345857475 Redăm mai jos două exemple de exerciţii de construcţie cu rigla şi compasul. Primul este un exerciţiu pur matematic (împărţirea hexagonului regulat în 12 suprafeţe egale), în timp ce al doilea redă utilizarea acestor cunoştinţe în artă. Astfel, vom reda pas cu pas construcţia cu rigla şi compasul a modelului repetitiv care se regăseşte în Marea Moschee din Cordoba (conform figurii 2A). Exerciţiul 1. Împărţirea suprafeţei unui hexagon regulat în 12 suprafeţe egale, folosind rigla şi compasul. Pasul 1: Se desenează un cerc şi un diametru orizontal. Pentru uşurinţă, notăm puncte de intersecţie cu cercul A (în stânga) şi B (în dreapta). Pasul 2: Se fixează vârful compasului în punctul B şi se desenează un cerc de aceeaşi rază cu primul (fie punctele de intersecţie dintre cele două cercuri C (în partea de sus) şi D (în partea de jos)). Pasul 3: Se fixează vârful compasului în punctul C şi se desenează al treilea cerc de aceeaşi rază cu primele două (punctele de intersecţie cu primele două cercuri E (stânga sus) şi F (dreapta sus)). Pasul 4: Se fixează vârful compasului în punctul F şi se desenează un cerc de aceeaşi rază cu primul (acesta va intersecta al doilea cerc şi diametrul în punctul B). Pasul 5: Se fixează vârful compasului în punctul B şi se desenează un cerc de aceeaşi rază cu primul; se continuă cu desenarea a încă două cercuri de aceeaşi rază care au ca centru punctele de intersecţie dintre cercul anterior desenat şi cercul de la pasul 2. Desenul final trebuie să conţină 6 cercuri în jurul unui acelaşi cerc (cel de la pasul 2). Pasul 6: Prin unirea punctelor consecutive de intersecţie dintre cele 6 cercuri exterioare cercului de la pasul 2 se obţine un hexagon regulat. Dacă se desenează diagonalele mari ale acestui hexagon regulat, ele vor intersecta cercul de la pasul 2 în 6 puncte care sunt, de asemenea, vârfurile unui hexagon regulat. Dacă se unesc între ele mijloacele laturilor opuse ale celui de-al doilea hexagon regulat, se va obţine împărţirea acestuia în 12 părţi egale. Atenţie: unele dintre linii sunt doar linii ajutătoare, deci, la final, acestea pot fi şterse! Exerciţiul 2. Realizarea modelului repetitiv care se regăseşte la Marea Moschee din Cordoba (figura 2A) Pasul 1: se desenează un cerc înscris într-un pătrat şi apoi diagonalele lui şi celelalte două axe de simetrie (orizontală şi verticală). Se notează punctele de tangenţă (începând din stânga în sens invers trigonometric) cu A, B, C, respectiv D şi punctele de intersecţie ale diagonalelor cu cercul cu M, N, P, respectiv Q. Astfel, ordinea finală a punctelor va fi A, M, B, N, C, P, D, Q. Pasul 2: Se unesc punctele M şi C, C şi Q, N şi A, respectiv A şi P (segmentele se prelungesc până intersectează laturile pătratului). Pasul 3: Se unesc punctele M şi D, D şi N, Q şi B, respectiv B şi P (segmentele se prelungesc până intersectează laturile pătratului!). Pasul 4: Notăm MC ∩ BD = {E}, CQ ∩ BD = {G}, MD ∩ AC = {H}, DN ∩ AC = {F} CM intersectează latura pătratului în T, DM intersectează latura pătratului în S, DN intersectează latura pătratului în I, AN intersectează latura pătratului în J, AP intersectează latura pătratului în K, BP intersectează latura pătratului în L, BQ intersectează latura pătratului în Z, iar CQ intersectează latura pătratului în W. Se desenează (de preferat cu o culoare diferită, de exemplu roşu) segmentele SG, TE, EJ, IF, FL, KG, GW, ZG. Pasul 5: Notăm MP ∩ AN = {A(1)}, NQ ∩ CM = {A(2)}, MP ∩ CQ = {A(3)}, NQ ∩ AP = {A(4)}. Se unesc prin segmente (cu aceeaşi culoare de la pasul 4) punctele A, A(1), B, A(2), C, A(3), D, A(4), A. Pasul 6: Se şterg liniile ajutătoare, iar desenul colorat în roşu reprezintă modelul. Pasul 7. Modelul se poate continua la infinit repetând paşii 1-6 pornind de la un alt pătrat, congruent cu primul şi care are o latură comună cu acesta. Organizarea activităţilor de învăţare (frontal, individual sau pe grupe) se adaptează particularităţilor clasei de elevi şi resurselor materiale existente. Dacă este posibil, se recomandă vizite în care să fie observate elemente de arhitectură, tablouri sau plante, acestea putând fi complementate de măsurători care, ulterior, să fie analizate şi corelate cu noţiunile teoretice. Evaluarea urmăreşte modul de formare şi dezvoltare a formării competenţelor generale şi specifice propuse, putându-se realiza: - ca formă: frontal, asistată de calculator, prin lucrări scrise etc.; – ca modalitate: conversaţie, observarea sistematică a activităţii şi comportamentului elevului, lucrări tematice, proiecte sau portofolii etc.; – ca instrumente: întrebări structurate, utilizarea de platforme de evaluare (de exemplu, Kahoot!), chestionare, lucrări scrise, portofolii etc. Se recomandă metodele alternative de evaluare (investigaţie, portofoliu, proiecte tematice etc.), care încurajează dezvoltarea abilităţilor de lucru în echipă. Resurse bibliografice (selectiv): 1. Almagro, Antonio, The Great Mosque of Tlemcen and the dome of its maqsura, Al- qantara, 2015, DOI: 10.3989/ALQANTARA.2015.007; 2. Bătineţu-Giurgiu, Dumitru M., Stanciu, Neculai, Tica, Gabriel Leonard, Din tainele numerelor Fibonacci şi Lucas, Editura SITECH, Craiova, 2013; 3. Broug, Eric, Islamic geometric patterns, Thames & Hudson Ltd., Londra, 2011; 4. Che Rahim, Mohd Idzham, Ibrahim, Marzuki, Daud, Mohd Zamani, Anuar, Nur Syafinaz Mohd, Development of Islamic Geomtric Pattern in Jewellery Product Design, publicat în Contemporary Issues and Development in the Global Halal Industry, ed. Ab. Manan, Siti Khadijah, Rahman, Fadilah Abd, Sahri, Mardhiyyah, Springer, Singapore, 2016; 5. Dăncilă, Ioan, Construcţii cu rigla şi compasul, Editura Sigma, Bucureşti, 2003; 6. Dăncilă, Ioan, Matematică distractivă clasele a VII-a şi a VIII-a, Editura Sigma, Bucureşti, 2012; 7. Ghyka, Matila, The Geometry of Art and Life, Dover Publications, Mineola, New York, 1977; 8. Muntean, Radu, Muntean, Gavrilă, Fibonacci, secţiunea de aur: arta şi ştiinţă, Sesiunea de comunicări ştiinţifice "Arta şi ştiinţa" a Universităţii Transilvania din Braşov, 2009; 9. Păduraru, Vasile, Construcţii geometrice cu rigla şi compasul - abordări metodice, Editura Stef, Iaşi, 2018; 10. Câmpan, Florica, Poveste despre numere măiestre, Editura Albatros, Bucureşti, 1981; 11. http://vasileteodor.ro/articol/numerele-lui-fibonacci-si-proporţia-de-aur Grupul de lucru
┌──────────────────┬───────────────────┐
│Nume şi prenume │Instituţia de │
│ │apartenenţă │
├──────────────────┼───────────────────┤
│Eleonora-Steluţa │Colegiul Energetic,│
│NEACSU │Râmnicu Vâlcea │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │Facultatea de │
│Delia-Laura │Chimie, │
│POPESCU │Universitatea din │
│ │Bucureşti │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │Scoala Gimnazială │
│Olga POPESCU │Take Ionescu, │
│ │Râmnicu Vâlcea │
├──────────────────┼───────────────────┤
│ │Centrul Naţional de│
│Constantin-Ciprian│Politici şi │
│NISTOR │Evaluare în │
│ │Educaţie │
└──────────────────┴───────────────────┘
------- 
